מה צריך לדעת על «גדילה ודעיכה»?

גדילה ודעיכה

בשיעור זה נעסוק בתהליכים שבהם כמות משתנה ביחס קבוע בכל יחידת זמן, כגון גידול אוכלוסייה, ריבית, התרבות חיידקים או דעיכה של חומר. הרעיון המרכזי הוא שהשינוי אינו תוספת קבועה אלא הכפלה במקדם קבוע. לכן הקשר בין כמות התחלתית, מקדם שינוי וזמן מתואר בעזרת חזקות, וכאשר הנעלם הוא הזמן או המקדם אפשר להשתמש בלוגריתמים.

מודל מעריכי של גדילה ודעיכה

תהליך גדילה ודעיכה מעריכי מתאר מצב שבו בכל יחידת זמן זהה הכמות מוכפלת באותו מקדם קבוע. מקדם זה נקרא מקדם הגדילה כאשר הכמות עולה, ומקדם דעיכה כאשר הכמות יורדת. נהוג לסמן אותו באות $q$. השם “מעריכי” נובע מכך שמספר יחידות הזמן $t$ מופיע במעריך החזקה.

הקשר בין הכמויות מתואר בנוסחה:

$A_t=A_0q^t$

• $A_0$ — הכמות ההתחלתית.
• $q$ — מקדם הגדילה או הדעיכה ביחידת זמן אחת.
• $t$ — מספר יחידות הזמן שעברו.
• $A_t$ — הכמות לאחר $t$ יחידות זמן.

אם $q>1$, הכמות גדלה בכל יחידת זמן. אם $0<q<1$, הכמות קטנה בכל יחידת זמן. אם $q=1$, הכמות אינה משתנה. לדוגמה, אם כמות מוכפלת פי 2 בכל שעה, אז $q=2$; אין מוסיפים בכל שעה מספר קבוע, אלא מכפילים את הכמות הקיימת ב־2.

דוגמה לגדילה: כמות התחלתית של 100 גדלה במקדם $1.05$ בכל שנה. לאחר שנה אחת: $100\cdot1.05=105$. לאחר שנתיים: $100\cdot1.05^2=110.25$.

דוגמה לדעיכה: כמות של 800 דועכת במקדם $0.5$ בכל שעה. לאחר שעה אחת: $800\cdot0.5=400$. לאחר שעתיים: $800\cdot0.5^2=200$.

הקשר בין כמות התחלתית, מקדם שינוי וכמות לאחר זמן

הנוסחה $A_t=A_0q^t$ מקשרת בין ארבעה גדלים. אם שלושה מהם ידועים, אפשר לחשב את הרביעי. התנאי הוא שתהליך השינוי אחיד: אותו מקדם $q$ חל בכל יחידת זמן.

• כדי לחשב כמות לאחר זמן: מציבים את $A_0$, את $q$ ואת $t$ בנוסחה.
• כדי לחשב כמות התחלתית: משתמשים בקשר $A_0=\frac{A_t}{q^t}$.
• כדי לחשב מקדם: משתמשים בקשר $q=\left(\frac{A_t}{A_0}\right)^{1/t}$.
• כדי לחשב זמן: משתמשים בלוגריתמים, כפי שיוסבר בהמשך.

דוגמה: כמות התחלתית היא 5000, והיא גדלה במקדם $1.2$ בכל יחידת זמן. לאחר 4 יחידות זמן נקבל:

$A_t=5000\cdot1.2^4=5000\cdot2.0736=10368$

דוגמה לכמות שהייתה לפני זמן נתון: היום הכמות היא 1210, והיא גדלה במקדם $1.1$ בכל שנה. לפני שנתיים הייתה הכמות:

$A_0=\frac{1210}{1.1^2}=\frac{1210}{1.21}=1000$

מעבר אחורה בזמן אינו הפחתה של אחוזים, אלא חלוקה באותו מקדם שהיה מכפיל את הכמות קדימה.

מעבר בין אחוז שינוי למקדם גדילה או דעיכה

בשאלות רבות השינוי ניתן באחוזים. אחוז קבוע בכל יחידת זמן פירושו מכפלה קבועה: אם הכמות גדלה ב־5% בכל שנה, בשנה השנייה האחוז מחושב כבר מתוך כמות גדולה יותר. כדי לעבור מאחוז למקדם, יש להוסיף או לגרוע את האחוז מהמספר 1.

אם הכמות גדלה ב־$p\%$ בכל יחידת זמן, אז:

$q=1+\frac{p}{100}$

אם הכמות קטנה ב־$p\%$ בכל יחידת זמן, אז:

$q=1-\frac{p}{100}$

דוגמאות:

• גדילה של 5% בשנה: $q=1+\frac{5}{100}=1.05$.
• דעיכה של 12% בשנה: $q=1-\frac{12}{100}=0.88$.

גם בכיוון ההפך אפשר לעבור ממקדם לאחוז. אם $q>1$, אחוז הגדילה הוא:

$(q-1)\cdot100\%$

אם $0<q<1$, אחוז הדעיכה הוא:

$(1-q)\cdot100\%$

דוגמאות:

• אם $q=1.08$, הכמות גדלה ב־8% בכל יחידת זמן.
• אם $q=0.7$, הכמות קטנה ב־30% בכל יחידת זמן.

חישוב אחוז שינוי על פני כמה יחידות זמן

כדי לחשב את אחוז השינוי הכולל לאחר כמה יחידות זמן, אין לחבר את האחוזים. יש להעלות את המקדם בחזקת מספר יחידות הזמן, משום שבכל יחידת זמן הכמות מוכפלת מחדש.

אם לאחר $t$ יחידות זמן מתקבל $q^t>1$, אחוז הגדילה הכולל הוא:

$(q^t-1)\cdot100\%$

אם מתקבל $q^t<1$, אחוז הדעיכה הכולל הוא:

$(1-q^t)\cdot100\%$

דוגמה לגדילה: כמות גדלה ב־5% בשנה. לאחר 3 שנים:

$1.05^3=1.157625$

לכן הכמות גדלה ב־15.7625% במשך שלוש שנים, ולא ב־15%.

דוגמה לדעיכה: כמות קטנה ב־10% בשנה. לאחר שנתיים:

$0.9^2=0.81$

לכן הכמות קטנה ב־19% במשך שנתיים, ולא ב־20%.

מציאת מקדם גדילה או דעיכה מכמויות וזמן

כאשר נתונות כמות התחלתית וכמות לאחר זמן ידוע, אפשר למצוא את המקדם בעזרת חזקה שהמעריך שלה הוא $\frac{1}{t}$. פעולה זו מבטלת את ההכפלה החוזרת שנעשתה במשך $t$ יחידות זמן.

$q=\left(\frac{A_t}{A_0}\right)^{1/t}$

דוגמה לדעיכה: כמות של 2000 ירדה ל־1620 לאחר שנתיים.

$\frac{1620}{2000}=0.81$

ולכן:

$q=0.81^{1/2}=0.9$

המקדם הוא 0.9, כלומר הכמות קטנה ב־10% בכל שנה.

דוגמה לגדילה: כמות של 1000 עלתה ל־1331 לאחר 3 שנים.

$\frac{1331}{1000}=1.331$

ולכן:

$q=1.331^{1/3}=1.1$

המקדם הוא 1.1, כלומר הכמות גדלה ב־10% בכל שנה.

מציאת כמות התחלתית או כמות לאחר זמן אחר

לעיתים נתונה כמות סופית לאחר זמן מסוים, ונדרש לחשב את הכמות ההתחלתית. במקרה כזה משתמשים בשינוי נושא הנוסחה: מחלקים את הכמות הסופית במקדם הגדילה או הדעיכה בחזקת הזמן.

דוגמה: לאחר 3 שנים של גדילה במקדם $1.1$ בשנה, הכמות היא 2662. הכמות ההתחלתית היא:

$A_0=\frac{2662}{1.1^3}=\frac{2662}{1.331}=2000$

לעיתים נוח להתייחס לכמות נתונה בזמן מסוים כאל כמות התחלתית חדשה. אם ידועה הכמות היום וידוע מקדם השינוי, אפשר לחשב ישירות את הכמות בעתיד או בעבר, בלי למצוא תחילה את הכמות בנקודת ההתחלה המקורית.

דוגמה: היום יש 3000 טונות עץ ביער, והכמות גדלה במקדם $1.05$ בכל שנה. בעוד 7 שנים תהיה הכמות:

$A_t=3000\cdot1.05^7\approx3000\cdot1.4071=4221.3$

מציאת מספר יחידות הזמן באמצעות לוגריתמים

כאשר הנעלם הוא מספר יחידות הזמן $t$, משתמשים בלוגריתמים. הלוגריתם עונה על השאלה: באיזו חזקה יש להעלות את המקדם כדי להגיע ליחס שבין הכמות הסופית לכמות ההתחלתית.

מתחילים מהנוסחה:

$A_t=A_0q^t$

מחלקים ב־$A_0$ ומקבלים:

$q^t=\frac{A_t}{A_0}$

אם $q>0$ ו־$q\neq1$, אפשר להפעיל לוגריתם ולקבל:

$t=\frac{\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right)}{\ln q}$

אפשר להשתמש בכל בסיס לוגריתמי, ובלבד שבמונה ובמכנה משתמשים באותו בסיס. נפוץ במיוחד השימוש ב־$\ln$.

דוגמה: כמות של 100 גדלה ב־10% בשנה. נרצה לדעת מתי תגיע ל־200. כאן $q=1.1$, ולכן:

$1.1^t=\frac{200}{100}=2$

$t=\frac{\ln 2}{\ln 1.1}\approx\frac{0.6931}{0.0953}\approx7.27$

כלומר, הכמות תגיע ל־200 לאחר כ־7.27 שנים. אם התוצאה אינה מספר שלם, יש לפרש אותה לפי הקשר השאלה.

דוגמה לדעיכה: כמות של 800 קטנה ב־20% בשנה. מתי תגיע ל־400? כאן $q=0.8$, ולכן:

$0.8^t=\frac{400}{800}=0.5$

$t=\frac{\ln 0.5}{\ln 0.8}\approx3.11$

כלומר, לאחר כ־3.11 שנים.

בחירת יחידת זמן והמרתה

הנוסחה $A_t=A_0q^t$ נכונה רק כאשר המקדם $q$ והזמן $t$ מתייחסים לאותה יחידת זמן. לכן לפני הצבה יש לבחור יחידת זמן מתאימה: שעה, יממה, חודש או שנה.

דוגמאות:

• אם נתון שהכמות משתנה כל 48 שעות, אפשר לבחור יממה כיחידת זמן, ואז 48 שעות הן $t=2$.
• אם נתון שהכמות משתנה כל 72 שעות, אפשר לבחור יממה כיחידת זמן, ואז 72 שעות הן $t=3$.
• אם מקדם הגדילה הוא שנתי והזמן נתון בחודשים, ממירים חודשים לשנים: 18 חודשים הם 1.5 שנים.
• אם המקדם הוא חודשי והזמן נתון בשנים, ממירים שנים לחודשים: 3 שנים הן 36 חודשים.

אם בשאלה מופיעים תאריכים, יש לחשב את מספר יחידות הזמן שעברו ביניהם. לדוגמה, מינואר 2005 עד ינואר 2008 עברו 3 שנים. אם המקדם הוא שנתי, מציבים $t=3$. אם המקדם הוא חודשי, מציבים $t=36$.

הבדלה בין תהליך מעריכי לתהליך לינארי

בתהליך לינארי הכמות משתנה בתוספת קבועה בכל יחידת זמן. לדוגמה, אם כמות של 100 גדלה ב־10 יחידות בכל שנה, נקבל: 110, 120, 130.

בתהליך מעריכי הכמות משתנה ביחס קבוע. לדוגמה, אם כמות של 100 גדלה ב־10% בכל שנה, נקבל: 110, 121, 133.1. בשנים הראשונות ההבדל עשוי להיראות קטן, אך ככל שעוברות יחידות זמן רבות יותר, הפער גדל.

בגרף, תהליך לינארי נראה כקו ישר. תהליך מעריכי עם $q>1$ נראה כקו עקום העולה בתלילות גדלה והולכת. תהליך דעיכה מעריכית עם $0<q<1$ נראה כקו היורד ומתקרב לציר האופקי, אך אינו מגיע אליו.

הבחנה זו חשובה בקריאת שאלה מילולית. אם נאמר “נוספים בכל שנה 50 תושבים”, זהו תהליך לינארי. אם נאמר “האוכלוסייה גדלה ב־5% בכל שנה”, זהו תהליך מעריכי. אם נאמר “הכמות קטנה ב־3% בכל חודש”, זהו תהליך דעיכה מעריכית.