מה צריך לדעת על «מעגל — זוויות, מיתרים, משיקים וחסימות»?

מעגל — זוויות, מיתרים, משיקים וחסימות

השיעור עוסק בקשרים שבין קשתות, מיתרים וזוויות במעגל, ובתכונות של מצולעים החסומים במעגל או מצולעים החוסמים מעגל. הרעיון המרכזי הוא שגודל של זווית במעגל נקבע פעמים רבות לפי הקשת שעליה היא נשענת, ותנאי החסימה של מצולעים נובעים משוויון של זוויות או של קטעי משיקים.

קשתות ומיתרים במעגל

קשת היא חלק מהיקף המעגל. מידת קשת נמדדת במעלות; קשת שלמה היא 360°, וחצי מעגל הוא 180°. מיתר הוא קטע המחבר שתי נקודות על המעגל. קוטר הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל, והוא מחלק את המעגל לשתי קשתות שוות.

כל מיתר שאינו קוטר מתאים לשתי קשתות: קשת קטנה וקשת גדולה. כאשר מציינים קשת לפי מיתר, בדרך כלל מתכוונים לקשת הקטנה, אלא אם נאמר בפירוש אחרת.

• מיתרים שווים במעגל אחד מתאימים לקשתות שוות.
• קשתות שוות מתאימות למיתרים שווים.
• זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים ועל קשתות שוות.

דוגמה: במעגל שמרכזו O נתונים שני מיתרים שווים, AB ו-CD. לכן הקשת הקטנה המתאימה ל-AB שווה לקשת הקטנה המתאימה ל-CD, וגם הזוויות המרכזיות הנשענות על שתי הקשתות שוות זו לזו.

זוויות מרכזיות והיקפיות

זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה עוברים דרך שתי נקודות על המעגל. מידת הזווית המרכזית שווה למידת הקשת שעליה היא נשענת.

זווית היקפית היא זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה הן מיתרים היוצאים מאותה נקודה. זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת, ולכן היא שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

• זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
• זוויות היקפיות שוות במעגל אחד נשענות על קשתות שוות ועל מיתרים שווים.
• זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°. להפך: אם זווית היקפית במעגל היא 90°, היא נשענת על קוטר.

דוגמה: אם זווית מרכזית AOB היא 80°, אז קשת AB היא 80°. כל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת, למשל ∠ACB, שווה 40°. אם AB הוא קוטר ונקודה C נמצאת על המעגל, אז ∠ACB=90°.

אנך למיתר העובר דרך המרכז

אם ישר העובר דרך מרכז המעגל מאונך למיתר, הוא חוצה את המיתר, את הזווית המרכזית הנשענת עליו ואת הקשת המתאימה לו. גם ההפך נכון: ישר העובר דרך המרכז וחוצה מיתר מאונך למיתר, וישר המאונך למיתר וחוצה אותו עובר דרך מרכז המעגל.

לכן האנך האמצעי של כל מיתר עובר דרך מרכז המעגל. תכונה זו שימושית במציאת מרכז מעגל: אם מעבירים את האנכים האמצעיים לשני מיתרים, נקודת המפגש שלהם היא מרכז המעגל.

דוגמה: במעגל שמרכזו O, מיתר AB באורך 10. אם OM מאונך ל-AB, אז AM=MB=5. אם ∠AOB=100°, אז ∠AOM=∠MOB=50°.

הבחנה בין מעגל חוסם למעגל חסום

במצולע חסום במעגל, הקודקודים נמצאים על המעגל והצלעות הן מיתרים. במצולע החוסם מעגל, הצלעות משיקות למעגל והמעגל נמצא בתוך המצולע. לכן במשולש חסום המעגל עובר דרך הקודקודים, ואילו במשולש חוסם המעגל נוגע בצלעות.

משולש ומרובע חסומים במעגל

מצולע חסום במעגל הוא מצולע שכל קודקודיו נמצאים על המעגל. המעגל נקרא המעגל החוסם את המצולע.

כל משולש ניתן לחסום במעגל. מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש, משום שנקודה זו נמצאת במרחק שווה משלוש הקודקודים.

במרובע חסום, סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180°. תכונה זו משמשת גם כתנאי לחסימת מרובע במעגל: אם במרובע קמור סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180°, אפשר לחסום אותו במעגל. מכיוון שסכום זוויות המרובע הוא 360°, אם סכום זוג אחד הוא 180°, גם סכום הזוג השני הוא 180°.

טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה־שוקיים. התנאי לזוויות נגדיות במרובע חסום, יחד עם תכונת המקבילים בטרפז, מביא לשוויון זוויות הבסיס.

דוגמה: במרובע ABCD החסום במעגל, אם ∠A=70°, אז ∠C=110°. אם ∠B=95°, אז ∠D=85°.

משיק למעגל

משיק למעגל הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד. הנקודה המשותפת נקראת נקודת ההשקה. משיק אינו חותך את המעגל בשתי נקודות; ישר כזה נקרא חותך, לא משיק.

משיק למעגל מאונך לרדיוס המגיע לנקודת ההשקה. גם המשפט ההפוך נכון: ישר המאונך לרדיוס בקצהו החיצוני הוא משיק למעגל.

אם מנקודה אחת מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים למעגל, קטעי המשיקים מן הנקודה החיצונית אל נקודות ההשקה שווים באורכם. הקטע המחבר את מרכז המעגל עם אותה נקודה חיצונית חוצה את הזווית שבין שני המשיקים.

אם שני משיקים למעגל מקבילים, הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה הוא קוטר.

דוגמה: מנקודה P מחוץ למעגל שמרכזו O יוצאים משיקים PA ו-PB. אם רדיוס המעגל הוא 5 ו-OP=13, אז במשולש OAP יש זווית ישרה בנקודה A, ולכן לפי משפט פיתגורס:

PA² = OP² − OA² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144

ולכן PA=12. מאותו טעם גם PB=12.

זווית בין משיק למיתר

כאשר משיק ומיתר נפגשים בנקודת ההשקה, הזווית שביניהם שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על המיתר. לכן היא שווה גם לזווית היקפית הנשענת על אותו מיתר.

כלל זה מאפשר להסיק מסקנות על זוויות במעגל גם כאשר אחת השוקיים היא משיק ולא מיתר רגיל.

דוגמה: במעגל שמרכזו O, מיתר AB יוצר עם המשיק בנקודה A זווית של 50°. מכאן שהזווית המרכזית AOB הנשענת על המיתר AB היא 100°, וכל זווית היקפית הנשענת על המיתר AB שווה 50°.

משולש חוסם מעגל

מעגל חסום במצולע הוא מעגל המשיק לכל צלעות המצולע. המצולע נקרא אז חוסם את המעגל.

בכל משולש אפשר לחסום מעגל. מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות של המשולש. הסיבה: כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית, ולכן נקודה הנמצאת על שלושת חוצי הזוויות נמצאת במרחק שווה משלוש צלעות המשולש.

רדיוס המעגל החסום במשולש הוא המרחק ממרכזו אל כל אחת מצלעות המשולש.

מרובע חוסם מעגל

מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שכל צלעותיו משיקות למעגל. במרובע כזה, מקודקוד אחד יוצאים שני קטעי משיקים אל המעגל, ולכן הם שווים באורכם.

אם מסמנים את קטעי המשיקים מקודקודי המרובע, מתקבל שוויון חשוב: סכום שתי צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום שתי הצלעות האחרות. נסמן את קטעי המשיקים מקודקוד A ב-x, מ-B ב-y, מ-C ב-z ומ-D ב-w. אז:

AB = x + y
BC = y + z
CD = z + w
DA = w + x

מכאן:

AB + CD = x + y + z + w

וגם:

BC + AD = x + y + z + w

ולכן במרובע ABCD שבו מעגל חסום מתקיים:

AB + CD = BC + AD

משוויון זה משתמשים כדי לבדוק אם ייתכן מעגל חסום במרובע, או כדי לחשב צלע חסרה.

דוגמה: במרובע חוסם מעגל נתון: AB=6, BC=9, CD=5. נחשב את DA:

AB + CD = BC + DA
6 + 5 = 9 + DA
DA = 2

יחסי רדיוסים של מעגלים חוסמים וחסומים במשולשים דומים

כאשר שני משולשים דומים, יחס הצלעות המתאימות שלהם קבוע. נסמן יחס זה ב־k. דמיון בין משולשים אפשר לתאר כהגדלה או הקטנה לפי קנה מידה קבוע, ולכן כל אורך הנבנה באותו אופן מתצורת המשולש משתנה באותו יחס. כך גם רדיוס המעגל החוסם וגם רדיוס המעגל החסום.

אם משולש אחד דומה למשולש אחר ביחס צלעות k, אז:

• יחס רדיוסי המעגלים החוסמים הוא k.
• יחס רדיוסי המעגלים החסומים הוא k.

דוגמה: שני משולשים דומים ביחס צלעות 2:3. אם רדיוס המעגל החוסם במשולש הקטן הוא 4, אז רדיוס המעגל החוסם במשולש הגדול הוא:

4 × 3/2 = 6

אם רדיוס המעגל החסום במשולש הקטן הוא 2, אז רדיוס המעגל החסום במשולש הגדול הוא:

2 × 3/2 = 3