מה צריך לדעת על «נגזרת שנייה, קעירות ונקודות פיתול»?
הנגזרת הראשונה מספרת לנו אם הפונקציה עולה או יורדת, אבל היא לא מסבירה איך קצב השינוי עצמו משתנה. בשיעור זה נכיר את הנגזרת השנייה f''(x) — הכלי שמגלה את השינוי הזה. ממנה נדע אם הגרף קעור כלפי מעלה או כלפי מטה, ונמצא נקודות פיתול — הנקודות שבהן הגרף מחליף את סוג הקעירות שלו. זה רעיון מרכזי בחשבון דיפרנציאלי: בזכותו תוכלו לקרוא גרף בצורה מדויקת, וגם להבין תופעות מציאותיות כמו האם קצב ההתייקרות מתגבר או נחלש.
נגזרת שנייה, קעירות ונקודות פיתול
הנגזרת הראשונה מתארת את קצב השינוי של פונקציה, אך אינה מסבירה כיצד הקצב הזה עצמו משתנה לאורך התחום. הנגזרת השנייה חושפת את השינוי הזה, וממנה אפשר להסיק אם הגרף קעור כלפי מעלה או כלפי מטה. המעבר בין שני סוגי הקעירות מגדיר נקודת פיתול, והקשר בין הפונקציה לשתי נגזרותיה מאפשר קריאה מדויקת של גרפים.
השתנות קצב השינוי והנגזרת השנייה
כאשר פונקציה f מתארת גודל המשתנה לפי x, הנגזרת הראשונה f'(x) היא קצב השינוי של הפונקציה. אם בוחנים כיצד קצב השינוי עצמו משתנה, גוזרים את הנגזרת הראשונה ומקבלים את הנגזרת השנייה f''(x). לכן הנגזרת השנייה היא קצב השינוי של הנגזרת הראשונה.
- אם הנגזרת הראשונה עולה, קצב השינוי של הפונקציה הולך וגדל.
- אם הנגזרת הראשונה יורדת, קצב השינוי של הפונקציה הולך וקטן.
דוגמה מפונקציית דרך לפי זמן: נניח שגוף נע כך שפונקציית הדרך היא s(t)=t^2.
- הנגזרת הראשונה היא s'(t)=2t, והיא מתארת את המהירות.
- הנגזרת השנייה היא s''(t)=2, והיא מתארת את התאוצה.
- בזמן t=1 המהירות היא 2, ובזמן t=2 המהירות היא 4. ההפרש הוא 2, כלומר המהירות גדלה בקצב קבוע.
בבעיה מציאותית, המשמעות אינה רק שהמרחק גדל, אלא שהגדילה עצמה נעשית מהירה יותר. באופן דומה, אם פונקציה מתארת מחיר לאורך זמן, הנגזרת הראשונה מתארת את קצב עליית המחיר, והנגזרת השנייה מתארת אם קצב ההתייקרות מתגבר או נחלש.
קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה
קעירות מתארת את אופן ההשתנות של קצב השינוי. כאשר קצב השינוי הולך וגדל, כלומר הנגזרת הראשונה עולה, הפונקציה קעורה כלפי מעלה. צורת הגרף מזכירה קערה הפתוחה כלפי מעלה, ולכן נהוג לסמן אותה כ-∪.
כאשר קצב השינוי הולך וקטן, כלומר הנגזרת הראשונה יורדת, הפונקציה קעורה כלפי מטה. צורת הגרף מזכירה כיפה, ולכן נהוג לסמן אותה כ-∩.
הקשר בין סימן הנגזרת השנייה לסוג הקעירות:
- בתחום שבו f''(x)>0, הנגזרת הראשונה עולה, והפונקציה קעורה כלפי מעלה.
- בתחום שבו f''(x)<0, הנגזרת הראשונה יורדת, והפונקציה קעורה כלפי מטה.
דוגמה: עבור הפונקציה f(x)=x^2 מתקבל f'(x)=2x וגם f''(x)=2. מכיוון שהנגזרת השנייה חיובית לכל ערך של x, הגרף קעור כלפי מעלה. לעומת זאת, עבור הפונקציה g(x)=-x^2 מתקבל g''(x)=-2, ולכן הגרף קעור כלפי מטה.
מבחינה גרפית, בגרף קעור כלפי מעלה שיפועי המשיקים הולכים וגדלים כשנעים משמאל לימין. בגרף קעור כלפי מטה שיפועי המשיקים הולכים וקטנים. תכונה נוספת: בגרף קעור כלפי מעלה, מיתר המחבר שתי נקודות על הגרף נמצא מעל הקטע שביניהן; בגרף קעור כלפי מטה, המיתר נמצא מתחת לקטע שביניהן.
נקודות פיתול
נקודת פיתול היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה שבה הפונקציה משנה סוג קעירות. כלומר, הגרף עובר מקעורה כלפי מעלה לקעורה כלפי מטה, או להפך. בנקודה כזו קצב השינוי של הפונקציה עובר ממצב של גדילה למצב של הקטנה, או להפך.
הנקודות החשודות כנקודות פיתול הן נקודות שבהן הנגזרת השנייה מתאפסת, כלומר f''(x)=0, וכן נקודות שבהן הנגזרת השנייה אינה מוגדרת, ובלבד שהפונקציה עצמה מוגדרת שם. עם זאת, נקודה חשודה אינה בהכרח נקודת פיתול.
התנאי המכריע הוא שינוי סימן של הנגזרת השנייה משני צדי הנקודה:
- אם f'' עוברת משלילי לחיובי, הפונקציה עוברת מקעורה כלפי מטה לקעורה כלפי מעלה.
- אם f'' עוברת מחיובי לשלילי, הפונקציה עוברת מקעורה כלפי מעלה לקעורה כלפי מטה.
- אם הסימן של f'' נשאר זהה בשני הצדדים, אין בנקודה זו נקודת פיתול.
דוגמה: עבור הפונקציה f(x)=x^3 מתקבל f'(x)=3x^2 וגם f''(x)=6x. הנגזרת השנייה מתאפסת בנקודה x=0. עבור x<0 מתקבל f''(x)<0, ועבור x>0 מתקבל f''(x)>0. לכן יש שינוי קעירות, ובנקודה (0,0) יש נקודת פיתול.
דוגמה נגדית: עבור הפונקציה f(x)=x^4 מתקבל f''(x)=12x^2. בנקודה x=0 הנגזרת השנייה מתאפסת, אך היא חיובית גם מצד שמאל וגם מצד ימין. לכן אין שינוי קעירות, ואין נקודת פיתול.
חשוב לציין שנקודת פיתול אינה חייבת להיות נקודה שבה הנגזרת הראשונה מתאפסת. למשל, עבור הפונקציה f(x)=x^3+x מתקבל f'(x)=3x^2+1, ולכן בנקודה x=0 הנגזרת הראשונה היא 1. אף על פי שהמשיק אינו אופקי, הנגזרת השנייה f''(x)=6x משנה סימן בנקודה זו, ולכן יש בה נקודת פיתול.
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה
הקשר בין פונקציה לנגזרתה הראשונה מאפשר לעבור מגרף אחד למשנהו. כאשר גרף הפונקציה עולה, הנגזרת הראשונה חיובית. כאשר גרף הפונקציה יורד, הנגזרת הראשונה שלילית. בנקודת קיצון מקומית של הפונקציה, הנגזרת הראשונה מתאפסת אם הפונקציה גזירה שם, או שהיא אינה מוגדרת.
כאשר נתון גרף הנגזרת הראשונה, אפשר להסיק ממנו על הפונקציה:
- בתחומים שבהם הנגזרת הראשונה חיובית, הפונקציה עולה.
- בתחומים שבהם הנגזרת הראשונה שלילית, הפונקציה יורדת.
- בתחומים שבהם הנגזרת הראשונה עולה, הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
- בתחומים שבהם הנגזרת הראשונה יורדת, הפונקציה קעורה כלפי מטה.
לכן, אם גרף הנגזרת הראשונה עובר מירידה לעלייה, הפונקציה עוברת מקעורה כלפי מטה לקעורה כלפי מעלה. אם גרף הנגזרת הראשונה עובר מעלייה לירידה, הפונקציה עוברת מקעורה כלפי מעלה לקעורה כלפי מטה. בשני המקרים, הנקודה שבה מתרחש השינוי היא נקודת פיתול של הפונקציה, בתנאי שהפונקציה מוגדרת שם.
הקשר בין גרף הנגזרת הראשונה לגרף הנגזרת השנייה
הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת הראשונה, ולכן היא מתארת את התנהגותה בדיוק כפי שהנגזרת הראשונה מתארת את הפונקציה. כאשר הנגזרת הראשונה עולה, הנגזרת השנייה חיובית. כאשר הנגזרת הראשונה יורדת, הנגזרת השנייה שלילית.
נקודות קיצון של הנגזרת הראשונה הן נקודות שבהן הנגזרת השנייה מתאפסת או אינה מוגדרת, ויש לבדוק את שינוי הסימן שלה. אם לנגזרת הראשונה יש מינימום מקומי, היא יורדת משמאל ועולה מימין. לכן הנגזרת השנייה שלילית משמאל וחיובית מימין. עבור הפונקציה המקורית, זהו מעבר מקעורה כלפי מטה לקעורה כלפי מעלה.
אם לנגזרת הראשונה יש מקסימום מקומי, היא עולה משמאל ויורדת מימין. לכן הנגזרת השנייה חיובית משמאל ושלילית מימין. עבור הפונקציה המקורית, זהו מעבר מקעורה כלפי מעלה לקעורה כלפי מטה.
דוגמה: אם הנגזרת הראשונה היא f'(x)=x^2, אז הנגזרת השנייה היא f''(x)=2x. בנקודה x=0 הנגזרת השנייה מתאפסת. עבור x<0 היא שלילית, ועבור x>0 היא חיובית. לכן לנגזרת הראשונה יש מינימום בנקודה זו, ולפונקציה המקורית יש נקודת פיתול באותו ערך של x.
זיהוי משולב של גרפים
כאשר נתונים שלושה גרפים הקשורים לפונקציה, לנגזרתה הראשונה ולנגזרתה השנייה, אפשר לזהות את הקשרים ביניהם לפי סימנים וכיווני שינוי. גרף הפונקציה עולה במקומות שבהם גרף הנגזרת הראשונה נמצא מעל ציר ה-x. גרף הפונקציה יורד במקומות שבהם גרף הנגזרת הראשונה נמצא מתחת לציר ה-x.
גרף הנגזרת הראשונה עולה במקומות שבהם גרף הנגזרת השנייה נמצא מעל ציר ה-x. גרף הנגזרת הראשונה יורד במקומות שבהם גרף הנגזרת השנייה נמצא מתחת לציר ה-x. לכן, נקודה שבה הנגזרת השנייה חותכת את ציר ה-x ומשנה סימן היא נקודה שבה הנגזרת הראשונה משנה כיוון, והפונקציה משנה סוג קעירות.
בזיהוי כזה יש לבדוק עקביות בין כל הגרפים. אם גרף אחד חיובי בדיוק בתחומים שבהם גרף אחר עולה, ייתכן שהראשון הוא הנגזרת של השני. אם מתגלה סתירה, למשל גרף הנגזרת השנייה חיובי אך גרף הנגזרת הראשונה יורד באותו תחום, הסידור המוצע אינו אפשרי.
