מה צריך לדעת על «פונקציות חזקה, סימטריה וחקירה איכותנית»?

פונקציות חזקה, סימטריה וחקירה איכותנית

בשיעור זה נכיר פונקציות חזקה מהצורה $f(x)=x^n$, ונבחין בין גרפים סימטריים ביחס לציר ה-$y$ לבין גרפים בעלי סימטריה סיבובית ביחס לראשית הצירים. לאחר מכן נלמד כיצד פירוק של פולינום לגורמים לינאריים וריבועיים מאפשר חקירה איכותנית: מציאת נקודות אפס, סימן הפונקציה ותחומי חיוביות ושליליות. לבסוף נראה כיצד סקיצה גרפית מאפשרת לפתור אי־שוויונות בצורה ברורה.

פונקציות חזקה והיכרות עם הגרפים שלהן

פונקציית חזקה היא פונקציה מהצורה $f(x)=x^n$, שבה $n$ הוא קבוע. בשיעור זה נעסוק בעיקר במקרה שבו $n$ הוא מספר שלם חיובי. לדוגמה, עבור $n=1$ מתקבלת הפונקציה הקווית $f(x)=x$, ועבור $n=2$ מתקבלת הפרבולה $f(x)=x^2$.

לעיתים מופיעה גם פונקציה מהצורה $f(x)=ax^n$, שבה $a$ הוא קבוע שונה מאפס. המקדם $a$ משפיע על מתיחה אנכית של הגרף ועל הסימן כאשר $a$ שלילי, אך אינו משנה את העובדה שנקודת האפס המרכזית של הפונקציה היא בדרך כלל בנקודה $(0,0)$.

כאשר המעריך $n$ הוא זוגי, ערכי הפונקציה אי־שליליים לכל $x$ ממשי, והגרף נמצא מעל ציר ה-$x$ או נוגע בו. כאשר המעריך $n$ הוא אי־זוגי, הפונקציה מקבלת גם ערכים חיוביים וגם ערכים שליליים: עבור $x>0$ הערכים חיוביים, ועבור $x<0$ הערכים שליליים.

כדי להבין את צורת הגרף, נוח לבדוק תחילה את ההתנהגות ליד ראשית הצירים ואת ההתנהגות עבור ערכים גדולים של $x$. לדוגמה, עבור $f(x)=x^3$:

$f(-2)=-8,\quad f(0)=0,\quad f(2)=8$

מכאן שהגרף נמצא מתחת לציר ה-$x$ עבור $x<0$, עובר בראשית הצירים, ונמצא מעל ציר ה-$x$ עבור $x>0$.

פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית

פונקציה זוגית היא פונקציה $f$ שעבורה לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה גם $-x$ נמצא בתחום ההגדרה, ומתקיים:

$f(-x)=f(x)$

המשמעות הגרפית היא שהגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$. כלומר, אם הנקודה $(x,y)$ נמצאת על הגרף, אז גם הנקודה $(-x,y)$ נמצאת עליו.

פונקציה אי־זוגית היא פונקציה $f$ שעבורה לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה גם $-x$ נמצא בתחום ההגדרה, ומתקיים:

$f(-x)=-f(x)$

המשמעות הגרפית היא סימטריה סיבובית ביחס לראשית הצירים. כלומר, אם הנקודה $(x,y)$ נמצאת על הגרף, אז גם הנקודה $(-x,-y)$ נמצאת עליו.

תנאי התחום חשוב: אם תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס ל-$0$, אי אפשר לייחס לפונקציה זוגיות או אי־זוגיות. למשל, פונקציה המוגדרת רק עבור $x \ge 0$ אינה יכולה להיות זוגית או אי־זוגית, משום שלערך חיובי מסוים אין בהכרח ערך מתאים ב-$-x$.

בדיקת זוגיות נעשית על ידי הצבת $-x$ במקום $x$ ופישוט הביטוי. אם לאחר הפישוט מתקבל הביטוי המקורי, הפונקציה זוגית. אם מתקבל הביטוי הנגדי, הפונקציה אי־זוגית. אם מתקבל ביטוי אחר, הפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית.

דוגמאות:

• עבור $f(x)=x^4$:

$f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$

ולכן הפונקציה זוגית.

• עבור $f(x)=x^3$:

$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$

ולכן הפונקציה אי־זוגית.

• עבור $f(x)=x^2+x$:

$f(-x)=x^2-x$

הביטוי $x^2-x$ אינו שווה ל-$f(x)=x^2+x$, וגם אינו שווה ל-$-f(x)=-x^2-x$. לכן הפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית.

כאשר ידוע שפונקציה היא זוגית או אי־זוגית, אפשר להשתמש בסימטריה כדי לעבור מצד אחד של הציר לצד השני. למשל, אם מצאנו נקודת אפס חיובית של פונקציה זוגית, אז גם הערך השלילי המתאים הוא נקודת אפס. אם מצאנו תחום חיוביות בצד אחד, אפשר להסיק את התחום המתאים בצד השני לפי סוג הסימטריה.

חקירה איכותנית של פולינום כמכפלת גורמים לינאריים וריבועיים

פולינום הוא פונקציה הבנויה מסכום של איברים מהצורה $a_nx^n$. בחקירה איכותנית לא נדרש לגזור את הפונקציה; נשתמש בפירוק לגורמים כדי להבין את נקודות האפס ואת סימן הפונקציה.

גורם לינארי הוא ביטוי מהצורה $ax+b$.
גורם ריבועי הוא ביטוי מהצורה $ax^2+bx+c$.

כאשר הפולינום כתוב כמכפלת גורמים, אין צורך לפתח את הכפל כדי למצוא את נקודות האפס. די להשוות כל גורם לאפס, שכן מכפלה מתאפסת אם ורק אם אחד מגורמיה מתאפס.

נקודות האפס של הפולינום הן הערכים שבהם אחד הגורמים מתאפס:

• גורם לינארי $ax+b$ מתאפס בנקודה $x=-\frac{b}{a}$, והסימן שלו מתחלף כאשר עוברים דרך נקודה זו.
• גורם ריבועי נבדק בעזרת הדיסקרימיננטה $\Delta=b^2-4ac$:
  • אם $\Delta<0$, לגורם הריבועי אין שורשים ממשיים, ולכן הוא אינו מתאפס ושומר על סימן קבוע בכל התחום. הסימן הוא סימן המקדם $a$.
  • אם $\Delta=0$, הגורם מתאפס בנקודה אחת בלבד, והוא אינו מחליף סימן. מבחינה גרפית, הפולינום נוגע בציר ה-$x$ בנקודה זו.
  • אם $\Delta>0$, הגורם הריבועי מתפרק לשני גורמים לינאריים, ולכן יש שתי נקודות אפס והסימן מתחלף ביניהן.

אם שורש מסוים מופיע כמה פעמים בפירוק, אומרים שיש לו ריבוי. כאשר הריבוי הוא אי־זוגי, הגרף חותך את ציר ה-$x$ והסימן מתחלף. כאשר הריבוי הוא זוגי, הגרף נוגע בציר ה-$x$ והסימן אינו מתחלף.

דוגמה: נתבונן בפולינום

$f(x)=(x-1)(x+2)(x^2+4)$

תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים. נקודות האפס מתקבלות מהגורמים הלינאריים:

$x-1=0 \Rightarrow x=1$

$x+2=0 \Rightarrow x=-2$

הגורם הריבועי $x^2+4$ אינו מתאפס, כי סכום של ריבוע וארבע חיובי לכל $x$. לכן הוא אינו משפיע על נקודות האפס, והוא תורם סימן חיובי קבוע.

נחלק את ציר המספרים לפי נקודות האפס:

$x<-2,\quad -2<x<1,\quad x>1$

בכל רווח נבדוק את סימן המכפלה $(x-1)(x+2)$:

• עבור $x<-2$, שני הגורמים שליליים, ולכן המכפלה חיובית.
• עבור $-2<x<1$, הגורם $x-1$ שלילי והגורם $x+2$ חיובי, ולכן המכפלה שלילית.
• עבור $x>1$, שני הגורמים חיוביים, ולכן המכפלה חיובית.

מכאן שהפונקציה חיובית בתחומים $(-\infty,-2)$ ו-$(1,\infty)$, ושלילית בתחום $(-2,1)$. בנקודות $x=-2$ ו-$x=1$ הפונקציה מתאפסת.

פתרון אי־שוויונות בדרך גרפית

אי־שוויון הוא טענה המשווה בין שני ביטויים באמצעות אחד הסימנים $<$, $>$, $\le$ או $\ge$. בדרך גרפית פותרים אי־שוויון על ידי השוואת גרפים.

אם האי־שוויון הוא מהצורה $f(x)>0$, מחפשים את הערכים שבהם גרף הפונקציה נמצא מעל ציר ה-$x$. אם האי־שוויון הוא מהצורה $f(x)<0$, מחפשים את הערכים שבהם הגרף נמצא מתחת לציר ה-$x$. אם האי־שוויון הוא מהצורה $f(x)>g(x)$, מחפשים את הערכים שבהם גרף הפונקציה $f$ נמצא מעל גרף הפונקציה $g$.

השלבים לפתרון גרפי הם:

1. נזהה את הפונקציות משני אגפי האי־שוויון, או נעביר את כל האיברים לאגף אחד כדי לקבל צורה כמו $f(x)>0$.
2. נמצא את נקודות החיתוך או את נקודות האפס על ידי פתרון המשוואה המתאימה: $f(x)=g(x)$ או $f(x)=0$.
3. נשרטט סקיצה איכותנית של הגרפים בעזרת נקודות האפס, הסימטריה והסימנים שמצאנו בחקירה.
4. נקרא מתוך הסקיצה את התחומים שבהם מתקיים האי־שוויון.
5. נבחין בין קצוות פתוחים לסגורים: באי־שוויון עם $<$ או $>$ נקודות הקצה אינן נכללות, ובאי־שוויון עם $\le$ או $\ge$ הן נכללות, ובלבד שהן בתחום ההגדרה.

דוגמה: נפתור גרפית את האי־שוויון

$x^2>2x$

דרך אחת היא להשוות בין הגרפים $y=x^2$ ו-$y=2x$. נקודות החיתוך מתקבלות מהמשוואה:

$x^2=2x$

נעביר אגף:

$x^2-2x=0$

נוציא גורם משותף:

$x(x-2)=0$

ולכן נקודות החיתוך הן:

$x=0,\quad x=2$

בסקיצה, הפרבולה $y=x^2$ עוברת דרך שתי נקודות החיתוך. בין הנקודות $0$ ו-$2$, הישר נמצא מעל הפרבולה. מחוץ לקטע זה, הפרבולה נמצאת מעל הישר. לכן הפתרון של האי־שוויון

$x^2>2x$

הוא:

x<0 \quad או \quad x>2

אם האי־שוויון היה

$x^2 \ge 2x$

הפתרון היה כולל גם את הנקודות $x=0$ ו-$x=2$.

באותו אופן אפשר לפתור גם אי־שוויון המתקבל מחקירה איכותנית של פולינום. למשל, עבור הפולינום מהסעיף הקודם:

$(x-1)(x+2)(x^2+4)>0$

הסקיצה מראה שהפונקציה נמצאת מעל ציר ה-$x$ כאשר $x<-2$ או כאשר $x>1$. לכן הפתרון הוא:

x<-2 \quad או \quad x>1