מה צריך לדעת על «קריאת גרפים ופונקציות לינאריות וריבועיות»?

קריאת גרפים ופונקציות ליניאריות וריבועיות

בשיעור זה נלמד כיצד לקרוא מידע מגרף של פונקציה וכיצד לעבור בין ייצוג גרפי לייצוג אלגברי. הרעיון המרכזי הוא שגרף אינו רק ציור, אלא דרך להציג תכונות של פונקציה: חיתוך עם הצירים, סימן הערכים, עלייה וירידה, ונקודות קיצון. נעסוק בפונקציות ליניאריות וריבועיות, שהן הבסיס לקריאת גרפים ולפתרון מערכות משוואות.

חיתוך עם הצירים ותחומי חיוביות ושליליות

הגרף של פונקציה מציג את כל הזוגות (x, f(x)). לכן נקודת חיתוך עם ציר y מתקבלת כאשר x=0, ושיעור ה-y שלה הוא f(0). נקודות חיתוך עם ציר x מתקבלות כאשר f(x)=0, כלומר בערכים שבהם הפונקציה מתאפסת.

תחום חיוביות של פונקציה הוא תחום שבו f(x)>0, ותחום שליליות הוא תחום שבו f(x)<0. בגרף, ערכים חיוביים נמצאים מעל ציר x, וערכים שליליים נמצאים מתחתיו. אם הגרף נמצא על ציר x בנקודה מסוימת, שם הפונקציה מתאפסת.

כדי לקבוע תחומי סימן בצורה מסודרת, נמצא תחילה את נקודות האפס של הפונקציה. נקודות אלה מחלקות את ציר x לקטעים. בכל קטע נבחר ערך x נוח, נציב אותו בפונקציה, ונבדוק אם התוצאה חיובית או שלילית. כך מתקבלת תמונה מלאה של סימן הפונקציה בכל תחום.

דוגמה: נתבונן בפונקציה הריבועית f(x)=x^2-4x+3.

• חיתוך עם ציר y: נציב x=0 ונקבל f(0)=3, ולכן הנקודה היא (0,3).
• חיתוך עם ציר x: נפתור x^2-4x+3=0. נפרק לגורמים: (x-1)(x-3)=0, ולכן x=1 או x=3.
• תחומי סימן: נקודות האפס מחלקות את הציר לשלושה קטעים: x<1, 13. הצבה של x=0 נותנת ערך חיובי, הצבה של x=2 נותנת ערך שלילי, והצבה של x=4 נותנת ערך חיובי. לכן הפונקציה חיובית כאשר x<1 או x>3, ושלילית כאשר 11.

אם היינו רואים גרף בלי משוואה, היינו בודקים האם משמאל לנקודה הגבוהה ביותר הגרף עולה, והאם מימין לה הוא יורד. כך ניתן לתאר את תחומי העלייה והירידה גם כאשר הנוסחה אינה נתונה.

פונקציות ליניאריות וריבועיות — ייצוג גרפי ואלגברי

פונקציה ליניארית נכתבת בצורה y=mx+n, שבה m הוא השיפוע ו-n הוא החיתוך עם ציר y. הגרף שלה הוא ישר. אם m>0, הפונקציה עולה; אם m<0, הפונקציה יורדת; אם m=0, מתקבלת פונקציה קבועה. השיפוע מתאר את קצב השינוי של הפונקציה: עבור כל עלייה של יחידה אחת ב-x, ערך הפונקציה משתנה ב-m יחידות.

דוגמה: ישר העובר דרך שתי הנקודות (1,2) ו-(3,6).

• נחשב את השיפוע: m=(6-2)/(3-1)=4/2=2.
• נציב בנקודה (1,2) במשוואה y=2x+n: 2=2·1+n, ולכן n=0.
• משוואת הישר היא y=2x.

פונקציה ריבועית נכתבת בצורה y=ax^2+bx+c, שבה a≠0. הגרף שלה הוא פרבולה. כאשר a>0 הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, וכאשר a<0 היא פתוחה כלפי מטה. ציר הסימטריה של הפרבולה הוא הישר האנכי x=-b/(2a), והוא עובר דרך הקודקוד.

הקשר בין הייצוג האלגברי לגרף מתבטא בכמה ערוצים:

• המקדם a קובע את כיוון הפתיחה ואת צורת הפרבולה.
• הפתרונות של ax^2+bx+c=0 הם נקודות החיתוך עם ציר x, אם יש פתרונות ממשיים.
• הערך החופשי c הוא נקודת החיתוך עם ציר y.
• הקודקוד נותן את ערך הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה.

דוגמה: בפונקציה y=x^2-6x+8, נפרק לגורמים: x^2-6x+8=(x-2)(x-4). לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן (2,0) ו-(4,0). ציר הסימטריה הוא x=3, והקודקוד נמצא עליו. הצבה של x=3 נותנת y=9-18+8=-1, ולכן הקודקוד הוא (3,-1). מכאן שהפונקציה יורדת עד x=3 ועולה אחרי x=3, ויש לה מינימום בנקודה זו.

מערכת משוואות ממעלה שנייה בגישה אלגברית

מערכת משוואות ממעלה שנייה היא מערכת שבה לפחות אחת מהמשוואות היא משוואה ממעלה שנייה. בגישה אלגברית נהוג לצמצם את המערכת למשוואה אחת בנעלם אחד, בדרך כלל באמצעות הצבה או השוואה. כאשר אחת המשוואות ליניארית והשנייה ריבועית, נוח לבטא את אחד הנעלמים מהמשוואה הליניארית ולהציב במשוואה הריבועית, או להשוות בין שני הביטויים עבור אותו נעלם.

דרך עבודה מסודרת כוללת כמה שלבים:

• מזהים איזו משוואה נוחה לביטוי נעלם. בדרך כלל המשוואה הליניארית פשוטה יותר.
• מבטאים נעלם אחד באמצעות הנעלם השני.
• מציבים במשוואה השנייה ומקבלים משוואה ריבועית בנעלם אחד.
• פותרים את המשוואה הריבועית.
• מציבים את הפתרונות שמצאנו במשוואה פשוטה יותר כדי למצוא את הנעלם השני.
• מפרשים את התוצאה כנקודות חיתוך של הגרפים.

מספר הפתרונות של המערכת קשור למספר נקודות החיתוך בין הגרפים:

• שני פתרונות ממשיים שונים: הגרפים נחתכים בשתי נקודות.
• פתרון ממשי אחד כפול: הגרפים נוגעים זה בזה, כלומר נחתכים בנקודה אחת בלבד.
• אין פתרונות ממשיים: הגרפים אינם נחתכים.

דוגמה: נפתור את מערכת המשוואות
y=x+1
y=x^2-2x+1

נשווה את שני הביטויים עבור y:
x+1=x^2-2x+1
נעביר אגפים:
x^2-3x=0
נוציא גורם משותף:
x(x-3)=0
ולכן x=0 או x=3.

נציב במשוואה הליניארית y=x+1:

• עבור x=0 מתקבל y=1, ולכן נקודת חיתוך אחת היא (0,1).
• עבור x=3 מתקבל y=4, ולכן נקודת חיתוך שנייה היא (3,4).

לכן למערכת יש שני פתרונות, והגרפים של הישר והפרבולה נחתכים בשתי נקודות. אם במקום שני פתרונות היינו מקבלים פתרון אחד בלבד, המשמעות הגרפית הייתה שהישר נוגע בפרבולה. אם היינו מקבלים משוואה ריבועית ללא פתרונות ממשיים, המשמעות הייתה שאין נקודות חיתוך.