מה צריך לדעת על «המעגל כמקום גאומטרי»?

המעגל כמקום גאומטרי

בגאומטריה האנליטית מתארים צורות במישור בעזרת משוואות. המעגל הוא הדוגמה הבסיסית ביותר: הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה, המרכז, שווה למרחק קבוע, הרדיוס. בשיעור נראה כיצד תנאי מרחק זה מתורגם למשוואה, כיצד מזהים מעגל מתוך משוואה כללית, וכיצד מטפלים במשיקים, במצבים הדדיים ובמקומות גאומטריים.

משוואה קנונית של מעגל

מעגל שמרכזו בנקודה $M(a,b)$ ורדיוסו $R$ הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P(x,y)$ המקיימות $PM=R$. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

$PM=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$

ולכן לאחר העלאה בריבוע מתקבלת המשוואה הקנונית של המעגל:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

אם המרכז הוא ראשית הצירים, כלומר $(0,0)$, המשוואה היא:

$x^2+y^2=R^2$

המשוואה הקנונית מאפשרת לקרוא מיד את המרכז והרדיוס. למשל, המשוואה $(x-3)^2+(y+5)^2=49$ מתארת מעגל שמרכזו $(3,-5)$ ורדיוסו $7$, כי $49=7^2$.

אפשר גם לבנות משוואה מתוך נתונים גאומטריים. אם נתון שמרכז המעגל הוא $M(3,-5)$ והרדיוס הוא $7$, נציב במשוואה הקנונית ונקבל:

$(x-3)^2+(y-(-5))^2=7^2$

ולכן:

$(x-3)^2+(y+5)^2=49$

זיהוי משוואת מעגל בעזרת השלמה לריבוע

לעיתים המעגל אינו כתוב בצורה קנונית, אלא בצורה כללית יותר, למשל:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

כדי לזהות את המעגל, משתמשים בהשלמה לריבוע. הרעיון הוא להפוך את הביטויים ב־$x$ וב־$y$ לריבועים שלמים, ולהגיע לצורה $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

תהליך העבודה:

• בודקים שהמקדמים של $x^2$ ושל $y^2$ שווים. אם הם אינם $1$ אך שווים זה לזה, מחלקים את המשוואה במספר המשותף.
• מעבירים את האיבר החופשי לאגף השני, אם נוח.
• משלימים לריבוע את הביטוי ב־$x$ ואת הביטוי ב־$y$.
• מעבירים אגפים ומקבלים את המרכז והרדיוס.

נבחן דוגמה:

$3x^2+3y^2-24x+30y=24$

תחילה נחלק ב־3:

$x^2-8x+y^2+10y=8$

נשלים לריבוע:

$x^2-8x=(x-4)^2-16$

$y^2+10y=(y+5)^2-25$

נציב במשוואה:

$(x-4)^2-16+(y+5)^2-25=8$

נעביר אגפים:

$(x-4)^2+(y+5)^2=49$

לכן המשוואה מתארת מעגל שמרכזו $(4,-5)$ ורדיוסו $7$.

חשוב לשים לב לתוצאה המתקבלת באגף ימין:

• אם מתקבל מספר חיובי, מתקבל מעגל.
• אם מתקבל $0$, מתקבלת נקודה אחת בלבד, והיא המרכז.
• אם מתקבל מספר שלילי, אין נקודות במישור המקיימות את המשוואה.

משיק למעגל בנקודה שעליו

משיק למעגל בנקודה שעליו הוא ישר העובר דרך אותה נקודה ונוגע במעגל בנקודה אחת בלבד. תכונה מרכזית: הרדיוס המגיע לנקודת ההשקה מאונך למשיק.

לכן, כדי למצוא משוואת משיק למעגל בנקודה $A(x_1,y_1)$ הנמצאת עליו:

• מוודאים שהנקודה אכן מקיימת את משוואת המעגל.
• מוצאים את שיפוע הרדיוס מהמרכז $M$ לנקודה $A$.
• שיפוע המשיק הוא ההופכי הנגדי של שיפוע הרדיוס.
• כותבים את משוואת הישר בעזרת שיפוע ונקודה.

דוגמה: נתון המעגל

$x^2+y^2=25$

והנקודה $A(4,3)$. תחילה נבדוק שהנקודה על המעגל:

$4^2+3^2=16+9=25$

מרכז המעגל הוא $O(0,0)$. שיפוע הרדיוס $OA$ הוא:

$m_{OA}=\frac{3-0}{4-0}=\frac{3}{4}$

לכן שיפוע המשיק הוא:

$m=-\frac{4}{3}$

משוואת המשיק דרך $A(4,3)$:

$y-3=-\frac{4}{3}(x-4)$

אפשר גם לסדר את המשוואה לצורה נוחה:

$4x+3y=25$

אם הרדיוס בנקודת ההשקה אופקי, המשיק אנכי, ומשוואתו $x=x_1$. אם הרדיוס אנכי, המשיק אופקי, ומשוואתו $y=y_1$.

מצבים הדדיים בין ישר למעגל

ישר ומעגל יכולים להימצא בשלושה מצבים עיקריים:

• הישר חותך את המעגל בשתי נקודות.
• הישר משיק למעגל, כלומר נוגע בו בנקודה אחת.
• הישר אינו נחתך עם המעגל.

יש שתי דרכים עיקריות לבדוק את המצב.

בדיקה בעזרת מרחק המרכז מהישר

נסמן את מרחק מרכז המעגל מהישר ב־$d$, ואת רדיוס המעגל ב־$R$.

• אם $d<R$, הישר חותך את המעגל בשתי נקודות.
• אם $d=R$, הישר משיק למעגל.
• אם $d>R$, הישר אינו חותך את המעגל.

אם הישר כתוב בצורה $Ax+By+C=0$ והמרכז הוא $(a,b)$, אז:

$d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

דוגמה: נתון המעגל

$(x-2)^2+(y-1)^2=9$

מרכזו $(2,1)$ ורדיוסו $3$. נבדוק את הישר $x=5$, כלומר $x-5=0$.

מרחק המרכז מהישר הוא:

$d=\frac{|2-5|}{1}=3$

מכיוון ש־$d=R$, הישר משיק למעגל.

אם נבדוק את הישר $x=4$, נקבל $d=2$, ולכן הישר חותך את המעגל בשתי נקודות. אם נבדוק את הישר $x=6$, נקבל $d=4$, ולכן הישר אינו חותך את המעגל.

בדיקה בעזרת הצבה ודיסקרימיננטה

דרך נוספת היא להציב את משוואת הישר במשוואת המעגל ולקבל משוואה ריבועית. אם הדיסקרימיננטה חיובית, יש שתי נקודות חיתוך. אם היא שווה לאפס, יש נקודה אחת, כלומר השקה. אם היא שלילית, אין נקודות חיתוך.

מצבים הדדיים בין שני מעגלים

גם בין שני מעגלים יש כמה מצבים אפשריים. נסמן את רדיוסי המעגלים ב־$R_1$ ו־$R_2$, ואת המרחק בין מרכזיהם ב־$d$.

• אם $d>R_1+R_2$, המעגלים נפרדים ואינם נחתכים.
• אם $d=R_1+R_2$, המעגלים משיקים מבחוץ.
• אם $|R_1-R_2|<d<R_1+R_2$, המעגלים נחתכים בשתי נקודות.
• אם $d=|R_1-R_2|$, המעגלים משיקים מבפנים, כלומר נוגעים בנקודה אחת כאשר אחד מהם בתוך השני.
• אם $d<|R_1-R_2|$, אחד המעגלים נמצא בתוך השני ואין להם נקודות חיתוך.

אם המרכזים מתלכדים, כלומר $d=0$, והרדיוסים שווים, המעגלים מתלכדים. אם הרדיוסים שונים, זהו מקרה פרטי של מעגל בתוך מעגל ללא חיתוך.

דוגמה: נתונים שני מעגלים:

$(x-1)^2+(y-2)^2=9$

$(x-5)^2+(y-2)^2=4$

המרכזים הם $(1,2)$ ו־$(5,2)$, ולכן המרחק ביניהם הוא:

$d=4$

הרדיוסים הם $3$ ו־$2$. מתקיים:

$|3-2|<4<3+2$

כלומר:

$1<4<5$

לכן שני המעגלים נחתכים בשתי נקודות.

מציאת מקומות גאומטריים שהם ישר או מעגל

מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות במישור המקיימות תנאי נתון. כדי למצוא מקום גאומטרי בדרך אנליטית, מסמנים נקודה כללית $P(x,y)$ ומתרגמים את התנאי הגאומטרי למשוואה. לאחר פישוט המשוואה אפשר לזהות אם התקבל ישר, מעגל או צורה אחרת.

אם לאחר הפישוט מתקבלת משוואה לינארית ב־$x$ וב־$y$, המקום הגאומטרי הוא ישר. אם מתקבלת משוואה ריבועית שבה המקדמים של $x^2$ ושל $y^2$ שווים ואין איבר $xy$, לעיתים מתקבל מעגל, וניתן לזהות זאת בעזרת השלמה לריבוע.

מרחק קבוע מנקודה נתונה

אם כל הנקודות נמצאות במרחק קבוע מנקודה נתונה, מתקבל מעגל. למשל, המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $(2,3)$ שווה $5$ הוא:

$(x-2)^2+(y-3)^2=25$

זהו מעגל שמרכזו $(2,3)$ ורדיוסו $5$.

שוויון מרחקים משתי נקודות

אם הנקודות רחוקות במידה שווה משתי נקודות נתונות, המקום הגאומטרי הוא האנך האמצעי לקטע המחבר את הנקודות, כלומר ישר.

למשל, נחפש את הנקודות שמרחקן מ־$A(1,2)$ שווה למרחקן מ־$B(5,2)$. נסמן $P(x,y)$ ונדרוש:

$PA=PB$

ולכן:

$(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y-2)^2$

האיבר $(y-2)^2$ מצטמצם, ונקבל:

$(x-1)^2=(x-5)^2$

נפתח סוגריים:

$x^2-2x+1=x^2-10x+25$

ולכן:

$8x=24$

$x=3$

המקום הגאומטרי הוא הישר $x=3$, שהוא האנך האמצעי לקטע $AB$.

יחס מרחקים קבוע משתי נקודות

אם היחס בין המרחקים משתי נקודות קבוע, ושונה מ־1, מתקבל בדרך כלל מעגל. למשל, נחפש את הנקודות שמרחקן מ־$A(0,0)$ גדול פי $2$ ממרחקן מ־$B(3,0)$.

נדרוש:

$PA=2PB$

נעלה בריבוע:

$PA^2=4PB^2$

כלומר:

$x^2+y^2=4[(x-3)^2+y^2]$

נפתח סוגריים:

$x^2+y^2=4(x^2-6x+9+y^2)$

$x^2+y^2=4x^2-24x+36+4y^2$

נעביר אגפים:

$3x^2-24x+36+3y^2=0$

נחלק ב־3:

$x^2-8x+12+y^2=0$

נשלים לריבוע:

$x^2-8x=(x-4)^2-16$

ולכן:

$(x-4)^2-16+12+y^2=0$

$(x-4)^2+y^2=4$

המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $(4,0)$ ורדיוסו $2$.