מה צריך לדעת על «עצי הסתברות ונוסחת ברנולי»?

עצי הסתברות ונוסחת ברנולי

ניסויים אקראיים רבים אינם מסתיימים בתוצאה אחת בודדת, אלא נבנים מכמה שלבים זה אחר זה: הטלת מטבע כמה פעמים, שליפת כדורים מכד, מענה על שאלות במבחן, או ניסוי שבו יש הצלחה או כישלון. כאשר רוצים לחשב הסתברות של מאורע כזה, נוח לתאר את כל האפשרויות בתרשים מסודר או להשתמש בנוסחה שמקצרת את החישוב. הרעיון המרכזי הוא שכל שלב בניסוי מוסיף ענפים אפשריים, וההסתברות של מאורע מורכב מתקבלת משילוב של מסלולים מתאימים.

עץ הסתברויות לניסוי רב־שלבי

ניסוי רב־שלבי הוא ניסוי שבו התוצאה הסופית מתקבלת מכמה שלבים עוקבים. עץ הסתברויות הוא תרשים שבו כל שלב מיוצג על ידי צומת, וממנו יוצאים ענפים לכל התוצאות האפשריות באותו שלב. על כל ענף כותבים את ההסתברות של אותה תוצאה, בהתאם למה שכבר קרה בשלבים הקודמים.

כל רצף של ענפים מהשלב הראשון ועד התוצאה הסופית נקרא מסלול. מסלול אחד מתאר תוצאה אפשרית אחת של הניסוי כולו. למשל, אם קלע יורה פעמיים, ובכל ירייה יש שתי תוצאות אפשריות – פגיעה או אי־פגיעה – העץ יתאר ארבעה מסלולים: פגיעה ופגיעה; פגיעה ואי־פגיעה; אי־פגיעה ופגיעה; אי־פגיעה ואי־פגיעה.

דוגמה: קלע פוגע במטרה בהסתברות 0.6 בכל ירייה, והיריות בלתי תלויות זו בזו. הוא יורה פעמיים.

• שלב ראשון: פגיעה בהסתברות 0.6, אי־פגיעה בהסתברות 0.4.
• שלב שני: שוב פגיעה בהסתברות 0.6 או אי־פגיעה בהסתברות 0.4.
• המסלולים האפשריים הם: פפ, פא, אפ, אא.

חישוב הסתברות לאורך מסלול בעץ

כדי לחשב את ההסתברות של מסלול שלם בעץ, משתמשים בחוק המכפלה: ההסתברות של מסלול שבו מתרחשים כמה מאורעות זה אחר זה שווה למכפלת ההסתברויות לאורך הענפים שלו.

אם המאורעות בלתי תלויים, כלומר תוצאת שלב אחד אינה משנה את ההסתברות בשלב הבא, ההסתברות בכל ענף נשארת קבועה. בדוגמת הקלע:

• פגיעה ופגיעה: 0.6 × 0.6 = 0.36.
• פגיעה ואי־פגיעה: 0.6 × 0.4 = 0.24.
• אי־פגיעה ופגיעה: 0.4 × 0.6 = 0.24.
• אי־פגיעה ואי־פגיעה: 0.4 × 0.4 = 0.16.

אם המאורעות תלויים, יש לחשב את ההסתברות בכל שלב לפי מה שכבר קרה. הסתברות כזו נקראת הסתברות מותנית: ההסתברות למאורע בשלב מסוים, בהינתן שמאורע מסוים כבר התרחש בשלב קודם.

דוגמה: בכד יש 3 כדורים לבנים ו־2 כדורים שחורים. מוציאים כדור אחד, לא מחזירים אותו, ומוציאים כדור שני.

• ההסתברות שהכדור הראשון לבן היא 3/5.
• אם הכדור הראשון לבן, נותרו 2 לבנים ו־2 שחורים מתוך 4 כדורים, ולכן ההסתברות שהכדור השני לבן היא 2/4=1/2.
• ההסתברות ששני הכדורים לבנים היא 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.

אם מחזירים את הכדור הראשון לכד לפני ההוצאה השנייה, המאורעות נעשים בלתי תלויים, וההסתברות לשני לבנים היא 3/5 × 3/5 = 9/25.

איחוד מאורעות בעץ: חיבור מסלולים זרים

מאורע מורכב יכול לכלול כמה מסלולים שונים בעץ. למשל, המאורע "בדיוק פגיעה אחת בשתי יריות" כולל שני מסלולים: פגיעה ואז אי־פגיעה, או אי־פגיעה ואז פגיעה. שני המסלולים האלה זרים, כלומר אינם יכולים להתרחש יחד באותו ניסוי.

כאשר מאורע מורכב ממסלולים זרים, ההסתברות שלו שווה לסכום ההסתברויות של אותם מסלולים. לכן בדוגמת הקלע:

• ההסתברות למסלול פגיעה ואי־פגיעה היא 0.24.
• ההסתברות למסלול אי־פגיעה ופגיעה היא 0.24.
• ההסתברות לבדיוק פגיעה אחת היא 0.24 + 0.24 = 0.48.

באופן דומה, כדי לחשב מאורע כמו "לפחות פגיעה אחת", אפשר לחבר את כל המסלולים שבהם יש פגיעה אחת או יותר. דרך קצרה יותר היא להשתמש במאורע המשלים: "לפחות פגיעה אחת" הוא המשלים של "אף פגיעה", כלומר של המסלול שבו שתי היריות נכשלות.

• ההסתברות לאי־פגיעה בשתי היריות היא 0.16.
• לכן ההסתברות לפחות פגיעה אחת היא 1 − 0.16 = 0.84.

נוסחת ברנולי לניסויים בלתי תלויים

כאשר חוזרים על אותו ניסוי כמה פעמים, ובכל פעם יש בדיוק שתי תוצאות אפשריות – הצלחה וכישלון – וההסתברות להצלחה קבועה בכל שלב, נוח להשתמש בנוסחת ברנולי. נסמן:

• n – מספר הניסויים.
• k – מספר ההצלחות המבוקש.
• p – ההסתברות להצלחה בניסוי אחד.
• 1 − p – ההסתברות לכישלון בניסוי אחד.

אם הניסויים בלתי תלויים, ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות מתוך n ניסויים היא:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)

הביטוי C(n, k) הוא מקדם בינומי: מספר הדרכים לבחור k מיקומים להצלחות מתוך n המיקומים האפשריים. הוא אינו תלוי בסדר ההצלחות, אלא רק בבחירת המקומות שבהם יופיעו ההצלחות.

הגורם p^k מתאר את ההסתברות ש־k ההצלחות הנבחרות יתרחשו, והגורם (1 − p)^(n − k) מתאר את ההסתברות ששאר הניסויים יהיו כישלונות. לכן כל סדר מסוים של k הצלחות ו־(n − k) כישלונות יש הסתברות p^k(1 − p)^(n − k), ויש C(n, k) סדרים כאלה.

דוגמה: קלע יורה 3 פעמים, וההסתברות לפגיעה בכל ירייה היא 0.6. מה ההסתברות שיפגע בדיוק פעמיים?

כאן n = 3, k = 2, p = 0.6.

• מספר הדרכים לבחור 2 פגיעות מתוך 3 יריות הוא C(3, 2) = 3.
• ההסתברות לכל סדר עם שתי פגיעות וכישלון אחד היא 0.6^2 · 0.4 = 0.36 · 0.4 = 0.144.
• לכן ההסתברות הכוללת היא 3 · 0.144 = 0.432.

שלושת הסדרים האפשריים הם: פגיעה, פגיעה, אי־פגיעה; פגיעה, אי־פגיעה, פגיעה; אי־פגיעה, פגיעה, פגיעה.

שימוש בנוסחת ברנולי למאורעות מורכבים

נוסחת ברנולי מתאימה לא רק לשאלה "בדיוק k הצלחות", אלא גם לשאלות שבהן מופיעים הביטויים "לפחות" או "לכל היותר". במקרים כאלה יש לזהות תחילה אילו ערכים של k כלולים במאורע, ואז לחבר את ההסתברויות המתאימות או להשתמש במאורע המשלים.

דוגמה: במבחן אמריקאי יש 5 שאלות, ולכל שאלה 4 אפשרויות שרק אחת מהן נכונה. תלמיד מנחש בכל שאלה באקראי, ולכן ההסתברות לתשובה נכונה בכל שאלה היא p = 1/4. מה ההסתברות שיצליח לפחות בשאלה אחת?

המאורע "לפחות הצלחה אחת" כולל k = 1, 2, 3, 4, 5. חיבור חמש הסתברויות אפשרי, אך ארוך. נוח יותר לעבור למאורע המשלים: "אף הצלחה", כלומר k = 0.

• ההסתברות לכישלון בשאלה אחת היא 1 − 1/4 = 3/4.
• ההסתברות לכישלון בכל 5 השאלות היא (3/4)^5 = 243/1024.
• לכן ההסתברות להצלחה לפחות בשאלה אחת היא 1 − 243/1024 = 781/1024.

אם נדרשת הסתברות של "בדיוק 3 הצלחות" באותו מבחן, משתמשים בנוסחה ישירות:

P(X = 3) = C(5, 3) · (1/4)^3 · (3/4)^2

• C(5, 3) = 10.
• (1/4)^3 = 1/64.
• (3/4)^2 = 9/16.
• לכן ההסתברות היא 10 · 1/64 · 9/16 = 90/1024 = 45/512.

כאשר המאורע הוא "לכל היותר 2 הצלחות", כוללים k = 0, 1, 2. אפשר לחשב את שלוש ההסתברויות ולחבר אותן, או להשתמש במאורע המשלים "3 הצלחות או יותר" אם הוא קצר יותר לחישוב.

נוסחת ברנולי כקיצור דרך לעץ עם שלבים רבים

כאשר מספר השלבים גדל, עץ ההסתברויות נעשה מסורבל. בעץ בן 10 שלבים שבו יש שתי תוצאות אפשריות בכל שלב, יש 2^10 = 1024 מסלולים שונים. שרטוט מלא של כל המסלולים אינו מעשי, אך אם הניסויים בלתי תלויים ובעלי אותה הסתברות הצלחה, נוסחת ברנולי מאפשרת לחשב ישירות את ההסתברות של מאורע כמו "בדיוק k הצלחות".

הנוסחה מבוססת על שני רעיונות שכבר הופיעו בעץ:

• כל מסלול עם k הצלחות ו־(n − k) כישלונות מקבל הסתברות p^k(1 − p)^(n − k).
• מספר המסלולים השונים שבהם יש בדיוק k הצלחות הוא C(n, k).

דוגמה: קלע יורה 10 פעמים, וההסתברות לפגיעה בכל ירייה היא 0.6. ההסתברות שיפגע בדיוק 7 פעמים היא:

P(X = 7) = C(10, 7) · 0.6^7 · 0.4^3

כאן C(10, 7) הוא מספר הדרכים לבחור 7 יריות פוגעות מתוך 10 היריות. אין צורך לשרטט את כל 1024 המסלולים; די בזיהוי מספר המסלולים המתאימים ובהכפלתו בהסתברות של כל מסלול כזה.