מה צריך לדעת על «דמיון משולשים ויחסי שטחים»?

דמיון משולשים ויחסי שטחים

בשיעור זה נעסוק בדמיון משולשים ובקשרים בין אורכים ושטחים של משולשים דומים. הרעיון המרכזי הוא שדמיון קובע יחס קבוע בין צלעות מתאימות, ולכן גם קטעים מיוחדים כמו גבהים, תיכונים וחוצי זוויות נמצאים באותו יחס. לעומת זאת, שטחים של משולשים דומים נמצאים ביחס הריבוע של יחס הדמיון.

הגדרת דמיון משולשים ויחס דמיון

שני משולשים נקראים דומים אם יש להם אותה צורה, גם אם הגודל שלהם שונה. בפועל, הדמיון דורש שני תנאים: הזוויות שוות לפי הסדר, והצלעות המתאימות נמצאות ביחס שווה. הסימון המקובל הוא ΔABC ~ ΔDEF. כאשר כותבים סימון כזה, סדר הקודקודים אינו מקרי: הוא קובע איזו זווית מתאימה לאיזו זווית ואיזו צלע מתאימה לאיזו צלע.

אם ΔABC ~ ΔDEF, אז מתקיים:

DE / AB = EF / BC = DF / AC = k

המספר k נקרא יחס הדמיון מהמשולש הראשון לשני. הוא מתאר פי כמה גדולה כל צלע במשולש השני מצלע המתאימה לה במשולש הראשון. אם k = 2, כל צלע במשולש השני גדולה פי 2. אם k = 1/2, כל צלע במשולש השני קטנה פי 2 מהצלע המתאימה במשולש הראשון. חשוב לציין את כיוון היחס, משום שהיחס מהמשולש הראשון לשני הוא ההופכי של היחס מהשני לראשון.

דוגמה: משולש שצלעותיו 3, 4, 5 ס"מ ומשולש שצלעותיו 6, 8, 10 ס"מ. היחס בין הצלעות המתאימות הוא 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2. לכן המשולשים דומים, ויחס הדמיון מהמשולש הראשון לשני הוא 2. אם נסתכל בכיוון ההפוך, יחס הדמיון מהשני לראשון הוא 1/2.

התאמת קודקודים וצלעות בכתיב דמיון

כאשר מציינים שני משולשים דומים, יש להקפיד על סדר הקודקודים. אם נכתב ΔABC ~ ΔDEF, הקודקוד A מתאים לקודקוד D, הקודקוד B מתאים לקודקוד E, והקודקוד C מתאים לקודקוד F. לכן הצלע AB מתאימה לצלע DE, הצלע BC מתאימה לצלע EF, והצלע AC מתאימה לצלע DF.

ההתאמה חשובה גם בזיהוי קטעים מיוחדים. גובה היוצא מהקודקוד A במשולש הראשון מתאים לגובה היוצא מהקודקוד D במשולש השני. תיכון היוצא מהקודקוד B מתאים לתיכון היוצא מהקודקוד E. חוצה זווית היוצא מהקודקוד C מתאים לחוצה זווית היוצא מהקודקוד F. אם ההתאמה אינה נכונה, עלולים לחשב יחס שגוי בין אורכים או בין שטחים.

משפט דמיון ראשון: זווית־זווית

אם בשני משולשים שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, המשולשים דומים. משפט זה נקרא גם משפט דמיון זווית־זווית. אין צורך לבדוק את הזווית השלישית, משום שסכום הזוויות במשולש הוא 180°, ולכן אם שתי זוויות שוות, גם הזווית השלישית חייבת להיות שווה.

לדוגמה, אם במשולש אחד הזוויות הן 50° ו־70°, ובמשולש שני הזוויות הן 50° ו־70°, הזווית השלישית בשניהם היא 180° − 50° − 70° = 60°. לכן המשולשים דומים לפי משפט זווית־זווית. במקרים כאלה אין צורך לדעת את אורכי הצלעות כדי לקבוע דמיון, אך אם רוצים לחשב אורכים או שטחים, יש צורך גם ביחס הדמיון.

משפט דמיון שני: צלע־זווית־צלע

אם שתי צלעות במשולש אחד נמצאות ביחס שווה לשתי צלעות במשולש שני, והזווית הכלואה בין שתי הצלעות שווה בשני המשולשים, המשולשים דומים. משפט זה נקרא גם משפט דמיון צלע־זווית־צלע.

לדוגמה, במשולש הראשון AB = 4 ס"מ, AC = 6 ס"מ וזווית A = 50°. במשולש השני DE = 8 ס"מ, DF = 12 ס"מ וזווית D = 50°. מתקיים 8/4 = 2 ו־12/6 = 2, והזווית שבין הצלעות שווה. לכן המשולשים דומים, ויחס הדמיון מהראשון לשני הוא 2.

חשוב להקפיד שהזווית השווה היא הזווית שבין שתי הצלעות הנתונות. אם נתונות שתי צלעות וזווית שאינה כלואה ביניהן, אין די בכך כדי להסיק דמיון לפי משפט זה.

משפט דמיון שלישי: צלע־צלע־צלע

אם שלוש הצלעות של משולש אחד נמצאות ביחס שווה לשלוש הצלעות של משולש שני, המשולשים דומים. משפט זה נקרא גם משפט דמיון צלע־צלע־צלע. במקרה זה אין צורך בנתון על זוויות, משום שיחס שווה בין כל הצלעות מבטיח שהזוויות המתאימות שוות.

לדוגמה, צלעות משולש אחד הן 5, 7, 9 ס"מ, וצלעות משולש שני הן 10, 14, 18 ס"מ. מתקיים 10/5 = 2, 14/7 = 2, 18/9 = 2. לכן המשולשים דומים, ויחס הדמיון מהראשון לשני הוא 2. אם היחסים אינם שווים, למשל אם צלע אחת מוכפלת פי 2 וצלע אחרת פי 3, אין דמיון לפי משפט זה.

בחירת משפט הדמיון המתאים

בפתרון תרגילים בגאומטריה, פעמים רבות צריך תחילה להוכיח ששני משולשים דומים, ורק לאחר מכן להשתמש ביחס הדמיון לחישוב אורכים או שטחים. בחירת המשפט תלויה בנתונים.

אם נתונות שתי זוויות מתאימות, משתמשים במשפט זווית־זווית. אם נתונות שתי צלעות מתאימות והזווית שביניהן, משתמשים במשפט צלע־זווית־צלע. אם נתונות שלוש הצלעות, משתמשים במשפט צלע־צלע־צלע.

לדוגמה, אם ידוע ששני משולשים הם שווי־צלעות, כל הזוויות שלהם שוות ל־60°, ולכן כל שני משולשים שווי־צלעות דומים לפי משפט זווית־זווית. אם ידוע ששני משולשים הם ישרי־זווית ויש להם זווית חדה שווה, גם אז הם דומים לפי משפט זווית־זווית, כי הזווית השלישית נקבעת באופן אוטומטי.

יחסי גבהים, תיכונים וחוצי זוויות במשולשים דומים

במשולשים דומים לא רק הצלעות נמצאות ביחס הדמיון. גם קטעים המתאימים זה לזה לפי המבנה של המשולש נמצאים באותו יחס: גבהים לצלעות מתאימות, תיכונים לצלעות מתאימות, וקטעי חוצי זוויות מתאימים.

גובה במשולש הוא קטע היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו. תיכון הוא קטע היוצא מקודקוד ומגיע לאמצע הצלע שמולו. חוצה זווית הוא קטע היוצא מקודקוד ומחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. כאשר המשולשים דומים, הקטעים האלה נבנים מאותם יחסים של צלעות וזוויות, ולכן אורכיהם מקיימים את יחס הדמיון.

אם יחס הדמיון מהמשולש הקטן למשולש הגדול הוא 1.5, אז כל אורך מתאים במשולש הגדול גדול פי 1.5. לכן, אם הגובה לצלע מסוימת במשולש הקטן הוא 4 ס"מ, הגובה המתאים במשולש הגדול הוא 4 × 1.5 = 6 ס"מ. אם תיכון במשולש הקטן הוא 10 ס"מ, התיכון המתאים במשולש הגדול הוא 10 × 1.5 = 15 ס"מ. אם חוצה זווית במשולש הקטן הוא 8 ס"מ, חוצה הזווית המתאים במשולש הגדול הוא 8 × 1.5 = 12 ס"מ.

יחס ההיקפים במשולשים דומים

היקף משולש הוא סכום אורכי צלעותיו. מכיוון שכל צלע במשולש דומה מוכפלת באותו יחס דמיון, גם סכום הצלעות מוכפל באותו יחס. לכן יחס ההיקפים של שני משולשים דומים שווה ליחס הדמיון ביניהם.

דוגמה: משולש קטן שצלעותיו 6, 8, 10 ס"מ ומשולש גדול שצלעותיו 9, 12, 15 ס"מ. יחס הדמיון מהקטן לגדול הוא 9/6 = 1.5. היקף המשולש הקטן הוא 6 + 8 + 10 = 24 ס"מ, והיקף המשולש הגדול הוא 9 + 12 + 15 = 36 ס"מ. היחס בין ההיקפים הוא 24:36, כלומר 2:3, והוא תואם ליחס הצלעות. אם מסתכלים מהקטן לגדול, ההיקף גדל פי 1.5. אם נתון היקף של משולש אחד ויחס הדמיון, אפשר למצוא את היקף המשולש השני בלי לחשב כל צלע בנפרד.

יחס השטחים במשולשים דומים

יחס השטחים של שני משולשים דומים אינו שווה ליחס הדמיון, אלא לריבוע של יחס הדמיון. אם יחס הדמיון ממשולש אחד למשולש שני הוא k, יחס השטחים הוא k².

הסיבה לכך נובעת מנוסחת השטח: שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה אליה. במשולשים דומים, גם הצלע וגם הגובה המתאים לה נמצאים ביחס הדמיון. לכן במעבר ממשולש אחד לשני, גם הבסיס מוכפל ב־k וגם הגובה מוכפל ב־k, והשטח מוכפל ב־k · k = k².

דוגמה: משולש ישר זווית שניצבותיו 6 ס"מ ו־8 ס"מ, ומשולש ישר זווית דומה שניצבותיו 9 ס"מ ו־12 ס"מ. יחס הדמיון מהקטן לגדול הוא 9/6 = 1.5. שטח המשולש הקטן הוא (6 × 8) / 2 = 24 סמ"ר. שטח המשולש הגדול הוא (9 × 12) / 2 = 54 סמ"ר. יחס השטח הקטן לשטח הגדול הוא 24:54, כלומר 4:9. בכיוון ההפוך, יחס השטח הגדול לשטח הקטן הוא 54/24 = 9/4 = 1.5² = 2.25. לכן במעבר מהקטן לגדול השטח מוכפל ב־2.25.

מעבר בין יחס דמיון ליחס שטחים

בחישובים על משולשים דומים חשוב להבחין אם הנתון הוא יחס אורכים או יחס שטחים. אם נתון יחס הדמיון, מעלים אותו בריבוע כדי לקבל את יחס השטחים. אם נתון יחס השטחים, מוציאים שורש ריבועי כדי לקבל את יחס הדמיון.

דוגמה: יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 4. לכן יחס השטחים הוא 4² = 16. אם שטח המשולש הקטן הוא 5 סמ"ר, שטח המשולש הגדול הוא 5 × 16 = 80 סמ"ר. לעומת זאת, אם ידוע ששטח המשולש הגדול ושטח המשולש הקטן הם ביחס 25:9, יחס הדמיון מהמשולש הקטן למשולש הגדול הוא 5/3, כי השורש הריבועי של 25 הוא 5 ושל 9 הוא 3. אם צלע במשולש הקטן היא 6 ס"מ, הצלע המתאימה במשולש הגדול היא 6 × (5/3) = 10 ס"מ.

שימוש משולב ביחסי אורכים ויחסי שטחים

כאשר נתונים יחד היקף, שטח או אורך של קטע מתאים, יש לבחור תחילה את יחס הדמיון הנכון לפי סדר המשולשים. לאחר מכן משתמשים בו ישירות עבור היקפים, גבהים, תיכונים וחוצי זוויות, ובריבוע שלו עבור שטחים.

דוגמה: שני משולשים דומים, ויחס הצלע הקטנה לצלע הגדולה הוא 2:3. לכן מקדם ההגדלה מהקטן לגדול הוא 3/2. הגובה לצלע מסוימת במשולש הקטן הוא 8 ס"מ. הגובה המתאים במשולש הגדול הוא 8 × (3/2) = 12 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 20 סמ"ר, שטח המשולש הגדול הוא 20 × (3/2)² = 20 × 9/4 = 45 סמ"ר. אם היקף המשולש הקטן הוא 18 ס"מ, היקף המשולש הגדול הוא 18 × (3/2) = 27 ס"מ.