מה צריך לדעת על «חזקות ולוגריתמים»?

חזקות ולוגריתמים

השיעור עוסק בשני כלים אלגבריים קשורים: חזקה מתארת כפל חוזר של בסיס בעצמו, ולוגריתם הוא הפעולה ההפוכה — מציאת המעריך הדרוש כדי לקבל ערך נתון. שליטה בחוקים אלה מאפשרת לפשט ביטויים, להשוות גדלים ולפתור משוואות שמופיעות בחומר הנלמד.

חזקה: בסיס, מעריך ומשמעות

כאשר כותבים $a^n$, המספר $a$ נקרא בסיס, והמספר $n$ נקרא מעריך. עבור מעריך טבעי, החזקה היא מכפלה חוזרת של הבסיס בעצמו מספר פעמים השווה למעריך. לדוגמה:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

בנוסף, מתקיים $a^1=a$, כלומר חזקה ראשונה מחזירה את הבסיס עצמו.

כדי להשתמש בחזקות גם כאשר המעריך אינו מספר טבעי, מגדירים כללים נוספים באופן עקבי:

• מעריך אפס: $a^0=1$, עבור $a \ne 0$.
• מעריך שלילי: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, עבור $a \ne 0$. לדוגמה, $5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$.
• מעריך רציונלי: $a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m$, כאשר הביטוי מוגדר. בפונקציות מעריכיות נהוג לעבוד עם בסיס חיובי.

דוגמה לחזקה רציונלית:

$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$

חוקי החזקות

חוקי החזקות מאפשרים לאחד מכפלות, מנות וחזקות של חזקות לביטוי קצר יותר. עבור בסיסים חיוביים $a$ ו-$b$, ועבור מעריכים $m$ ו-$n$, מתקיים:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

המשמעות של החוקים היא שכפל חזקות מאותו בסיס שקול לחיבור מעריכים, חילוק חזקות מאותו בסיס שקול לחיסור מעריכים, וחזקה של חזקה שקולה לכפל מעריכים. כאשר הבסיסים שונים, לעיתים כדאי להציג אותם כחזקות של בסיס משותף לפני הפישוט. למשל, $4=2^2$ ו-$8=2^3$.

דוגמה:

$$\frac{8^2}{4^3} = \frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} = \frac{2^6}{2^6} = 2^{6-6} = 2^0 = 1$$

לוגריתם: מציאת המעריך

הלוגריתם מוגדר באמצעות חזקה. אם $a>0$, $a \ne 1$, וגם $N>0$, אז הסימון

$\log_a N = x$

פירושו:

$a^x=N$

כלומר, הלוגריתם של $N$ לפי בסיס $a$ הוא המעריך שיש להעלות בו את הבסיס $a$ כדי לקבל את $N$.

דוגמאות:

• $\log_2 8=3$, כי $2^3=8$.
• $\log_{10} 1000=3$, כי $10^3=1000$.
• $\log_5 1=0$, כי $5^0=1$.

התנאים בהגדרה חשובים: הבסיס חייב להיות חיובי ושונה מ-1, והביטוי שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי. לכן $\log_a(-4)$ אינו מוגדר בתחום הממשי, וגם $\log_1 N$ אינו מוגדר.

בפועל משתמשים בבסיסים שונים לפי ההקשר. בסיס 10 נפוץ בחישובים עשרוניים, בסיס 2 נוח בתהליכי הכפלה, ובסיסים אחרים מופיעים במודלים שונים של גדילה ודעיכה.

חוקי הלוגריתמים

חוקי הלוגריתמים נובעים ישירות מחוקי החזקות. נבין תחילה את הרעיון המרכזי: אם $\log_a x=m$ וגם $\log_a y=n$, אז לפי הגדרת הלוגריתם $x=a^m$ ו-$y=a^n$. לכן:

$xy=a^m \cdot a^n=a^{m+n}$

ומכאן:

$\log_a(xy)=m+n=\log_a x+\log_a y$

באופן דומה מתקבלים חוקי המנה והחזקה.

עבור בסיס חיובי $a$ השונה מ-1, ועבור ביטויים חיוביים $x$ ו-$y$, מתקיים:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$
• $\log_a(x^k)=k\log_a x$

בנוסף, מתקיים:

• $\log_a a=1$, כי $a^1=a$.
• $\log_a 1=0$, כי $a^0=1$.
• $\log_a\left(\frac{1}{x}\right)=-\log_a x$, עבור $x>0$.

דוגמה המשלבת חוק מכפלה וחוק מנה:

$$\log_2\left(\frac{16 \cdot 8}{4}\right) = \log_2 16+\log_2 8-\log_2 4 = 4+3-2 = 5$$

דוגמה לחוק החזקה:

$\log_2(32^3)=3\log_2 32=3 \cdot 5=15$

יש להיזהר מפירוק שאינו נכון: באופן כללי $\log_a(x+y)$ אינו שווה ל-$\log_a x+\log_a y$. לוגריתם של סכום אינו מתפרק לסכום לוגריתמים.

מעבר בין בסיסים

לעיתים הבסיס הנתון אינו נוח לחישוב. במקרה כזה משתמשים בנוסחת מעבר הבסיסים:

$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$

הנוסחה נכונה עבור $b>0$, $a>0$, $a \ne 1$, ו-$c>0$, $c \ne 1$. את הבסיס $c$ אפשר לבחור כבסיס נוח, למשל 10.

כדי להבין את הנוסחה, נסמן $t=\log_a b$. אז $a^t=b$. נפעיל לוגריתם לפי בסיס $c$ על שני האגפים:

$\log_c(a^t)=\log_c b$

לפי חוק החזקה:

$t\log_c a=\log_c b$

ולכן:

$t=\frac{\log_c b}{\log_c a}$

כלומר:

$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$

דוגמה: נחשב את $\log_8 32$. נעבור לבסיס 2:

$\log_8 32=\frac{\log_2 32}{\log_2 8}=\frac{5}{3}$

ואכן:

$8^{5/3}=(\sqrt[3]{8})^5=2^5=32$

יישום הכלים האלגבריים בחומר הנלמד

הכלים של חזקות ולוגריתמים משמשים לפישוט ביטויים ולפתרון משוואות שבהם הנעלם מופיע במעריך החזקה או בתוך לוגריתם.

השוואת מעריכים באמצעות בסיס משותף

כאשר אפשר להציג את שני אגפי המשוואה כחזקות של אותו בסיס, אפשר להשוות בין המעריכים.

דוגמה:

$9^{2x}=27$

נכתוב $9=3^2$ ו-$27=3^3$, ולכן:

$(3^2)^{2x}=3^3$

$3^{4x}=3^3$

מכאן:

$4x=3$

ולכן:

$x=\frac{3}{4}$

מעבר ללוגריתם כאשר אין בסיס משותף

כאשר אי אפשר להגיע בקלות לבסיס משותף, משתמשים בלוגריתם כדי להעביר את הנעלם מהמעריך אל ביטוי רגיל.

דוגמה:

$3^x=10$

ניקח לוגריתם לפי בסיס 3:

$x=\log_3 10$

אם רוצים להשתמש בבסיס נוח, נעזר בנוסחת מעבר הבסיסים:

$x=\frac{\log 10}{\log 3}$

כאשר הסימון $\log$ מציין לוגריתם בבסיס נוח, למשל בסיס 10.

משוואות לוגריתמיות ושמירה על תחום ההגדרה

במשוואה לוגריתמית משתמשים בחוקי הלוגריתמים כדי לאחד ביטויים, ולאחר מכן עוברים למשוואה מעריכית לפי הגדרת הלוגריתם. בכל פתרון יש לוודא שהביטויים שבתוך הלוגריתמים חיוביים.

דוגמה:

$\log_2 x+\log_2 5=4$

לפי חוק המכפלה:

$\log_2(5x)=4$

לפי הגדרת הלוגריתם:

$5x=2^4=16$

ולכן:

$x=\frac{16}{5}$

הערך שהתקבל חיובי, ולכן הוא מותר מבחינת תחום ההגדרה של הלוגריתם.

דוגמה נוספת עם חוק החזקה:

$\log_2(x^3)=6$

לפי הגדרת הלוגריתם:

$x^3=2^6=64$

ולכן:

$x=4$

גם כאן מתקבל ערך חיובי, ולכן הוא בתחום ההגדרה.

שימוש במודלים מעריכיים

בחומר הנלמד מופיעים לעיתים תהליכי גדילה או דעיכה מהצורה:

$M(t)=M_0 a^t$

בביטוי זה $M_0$ הוא הערך ההתחלתי, $a$ הוא קבוע הגדילה או הדעיכה לכל יחידת זמן, ו-$t$ הוא הזמן. אם $a>1$, מתוארת גדילה. אם $0<a<1$, מתוארת דעיכה.

דוגמה: כמות התחלתית היא 200, והיא מכפילה את עצמה כל שעה. לכן:

$M(t)=200 \cdot 2^t$

אחרי 4 שעות:

$M(4)=200 \cdot 2^4=200 \cdot 16=3200$

אם רוצים לדעת מתי תגיע הכמות ל-1600, פותרים:

$200 \cdot 2^t=1600$

נחלק ב-200:

$2^t=8$

ולכן:

$t=3$

כי $2^3=8$.