מה צריך לדעת על «מאורעות וחוקי הסתברות»?

מאורעות וחוקי הסתברות

בשיעור זה נכיר את השפה הבסיסית של ההסתברות: ניסוי אקראי, מרחב המדגם שלו, והמאורעות שאפשר להגדיר עליו. הרעיון המרכזי הוא שמאורע הוא קבוצה של תוצאות, ולכן אפשר לתאר אותו בעזרת איחוד, חיתוך ומשלים, ולחשב את הסיכוי שלו באמצעות חוקי הסתברות ברורים.

מרחב מדגם ומאורע

ניסוי אקראי הוא תהליך שתוצאתו אינה ידועה מראש, אך ניתן לתאר את כל התוצאות האפשריות שלו. למשל, הטלת קובייה משחק רגילה היא ניסוי אקראי: לפני ההטלה איננו יודעים איזה מספר יתקבל, אבל יודעים שהתוצאות האפשריות הן המספרים 1 עד 6.

מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי. נהוג לסמן אותו באות היוונית Ω. בהטלת קובייה רגילה:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

מאורע הוא כל קבוצה חלקית של מרחב המדגם. כלומר, מאורע הוא אוסף של תוצאות אפשריות, ולפעמים גם תוצאה אחת בלבד. למשל, המאורע “התקבל מספר זוגי” בהטלת קובייה הוא הקבוצה:

A = {2, 4, 6}

ההסתברות של מאורע A מסומנת ב־P(A), והיא מבטאת את מידת הסיכוי שהמאורע יתרחש.

מאורע פשוט, מורכב, ודאי ובלתי אפשרי

בתוך מרחב המדגם אפשר להבחין בין כמה סוגי מאורעות.

• מאורע פשוט הוא מאורע הכולל תוצאה אחת בלבד ממרחב המדגם.
  למשל, בהטלת קובייה המאורע “התקבל 3” הוא הקבוצה {3}.

• מאורע מורכב הוא מאורע הכולל כמה תוצאות.
  למשל, “התקבל מספר גדול מ־3” הוא הקבוצה {4, 5, 6}.

• מאורע ודאי הוא מאורע שמתרחש תמיד. במרחב מדגם סופי, המאורע הוודאי הוא כל מרחב המדגם עצמו.
  למשל, בהטלת קובייה המאורע “התקבל מספר בין 1 ל־6” הוא Ω, ולכן הוא מאורע ודאי.

• מאורע בלתי אפשרי הוא מאורע שאינו יכול להתרחש. הוא מסומן בקבוצה הריקה ∅.
  למשל, בהטלת קובייה רגילה המאורע “התקבל 7” הוא מאורע בלתי אפשרי.

מאורעות מורכבים יכולים להיבנות בעזרת מילים כמו “או”, “גם”, “לפחות”, “לכל היותר” או “בדיוק”. למשל, “התקבל מספר זוגי או מספר גדול מ־4” הוא מאורע מורכב שכולל כמה תוצאות אפשריות.

פעולות על מאורעות

כדי לתאר מצבים שבהם מעורבים כמה מאורעות, משתמשים בפעולות של איחוד, חיתוך ומציאת מאורע משלים.

נשתמש בדוגמה: מטילים קובייה רגילה.

• נגדיר את המאורע A: “התקבל מספר זוגי”.
  A = {2, 4, 6}

• נגדיר את המאורע B: “התקבל מספר גדול מ־3”.
  B = {4, 5, 6}

איחוד מאורעות של A ו־B מסומן ב־A ∪ B. הוא מתאר את המאורע שבו מתרחש A או B, או שניהם יחד. בהסתברות, המילה “או” אינה שוללת את האפשרות ששני המאורעות יתרחשו יחד.

בדוגמה שלנו:

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

הסבר: התוצאות שבהן מתקיים לפחות אחד מהמאורעות הן 2, 4, 5, 6.

חיתוך מאורעות של A ו־B מסומן ב־A ∩ B. הוא מתאר את המאורע שבו מתרחשים שני המאורעות יחד, כלומר גם A וגם B.

בדוגמה שלנו:

A ∩ B = {4, 6}

הסבר: רק התוצאות 4 ו־6 הן גם זוגיות וגם גדולות מ־3.

מאורע משלים למאורע A מסומן ב־A′. הוא כולל את כל התוצאות במרחב המדגם שאינן נמצאות ב־A. כלומר, המאורע המשלים מתאר את המצב שבו A לא מתרחש.

בדוגמה שלנו:

A′ = {1, 3, 5}

הסבר: אלה התוצאות שבהן לא התקבל מספר זוגי.

מאורעות זרים ומאורע משלים

מאורעות זרים הם מאורעות שאינם יכולים להתרחש יחד. כלומר, אין להם אף תוצאה משותפת. אם A ו־B הם מאורעות זרים, אז החיתוך שלהם הוא הקבוצה הריקה:

A ∩ B = ∅

לדוגמה, בהטלת קובייה נגדיר:

• A: “התקבל מספר קטן מ־3”, כלומר A = {1, 2}
• B: “התקבל מספר גדול מ־4”, כלומר B = {5, 6}

אין תוצאה ששייכת גם ל־A וגם ל־B, ולכן שני המאורעות זרים.

מאורע משלים הוא מקרה מיוחד של מאורע זר, אך חשוב להבחין ביניהם. המאורע המשלים A′ כולל את כל התוצאות שאינן ב־A. לכן A ו־A′ תמיד זרים, וגם האיחוד שלהם הוא כל מרחב המדגם:

A ∩ A′ = ∅
A ∪ A′ = Ω

לדוגמה, אם A הוא “התקבל מספר זוגי”, כלומר {2, 4, 6}, אז A′ הוא “התקבל מספר אי־זוגי”, כלומר {1, 3, 5}. שני המאורעות גם זרים וגם משלימים.

לעומת זאת, לא כל מאורעות זרים הם מאורעות משלימים. למשל, המאורעות {1, 2} ו־{5, 6} הם זרים, אך איחודם אינו כולל את כל התוצאות האפשריות, כי חסרות התוצאות 3 ו־4. לכן הם אינם משלימים.

הסתברות של מאורע

הסתברות היא מספר בין 0 ל־1 המתאר את מידת הסיכוי שמאורע יתרחש. ככל שההסתברות קרובה יותר ל־1, המאורע סביר יותר. ככל שהיא קרובה יותר ל־0, המאורע סביר פחות.

בניסוי שבו כל התוצאות שוות הסתברות, כגון הטלת מטבע הוגן או הטלת קובייה הוגנת, אפשר לחשב את ההסתברות של מאורע בעזרת יחס פשוט:

P(A) = מספר התוצאות במאורע A / מספר התוצאות במרחב המדגם

לדוגמה, מטילים קובייה הוגנת. מרחב המדגם הוא:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

נחשב את ההסתברות של המאורע A: “התקבל מספר זוגי”.

המאורע הוא:

A = {2, 4, 6}

מספר התוצאות ב־A הוא 3, ומספר התוצאות במרחב המדגם הוא 6. לכן:

P(A) = 3/6 = 1/2

כעת נחשב את ההסתברות של המאורע B: “התקבל מספר גדול מ־4”.

המאורע הוא:

B = {5, 6}

מספר התוצאות ב־B הוא 2, ולכן:

P(B) = 2/6 = 1/3

מאורע ודאי כולל את כל התוצאות, ולכן ההסתברות שלו היא 1. מאורע בלתי אפשרי אינו כולל תוצאות, ולכן ההסתברות שלו היא 0.

חוקי ההסתברות

חוקי ההסתברות מאפשרים לעבור מחישוב של מאורעות בודדים לחישוב של מאורעות מורכבים. להלן החוקים המרכזיים.

לכל מאורע A מתקיים:

0 ≤ P(A) ≤ 1

כלומר, הסתברות אינה יכולה להיות שלילית ואינה יכולה להיות גדולה מ־1.

ההסתברות של המאורע הוודאי היא 1, וההסתברות של מאורע בלתי אפשרי היא 0:

P(Ω) = 1
P(∅) = 0

אם מאורע A מוכל במאורע B, כלומר כל תוצאה ב־A היא גם תוצאה ב־B, אז ההסתברות של A אינה גדולה מההסתברות של B:

אם A ⊆ B, אז P(A) ≤ P(B)

לדוגמה, בהטלת קובייה נגדיר:

• A = {2}
• B = {2, 4, 6}

כאן A מוכל ב־B. לכן:

P(A) = 1/6
P(B) = 3/6

ואכן מתקיים:

1/6 ≤ 3/6

חוק חשוב נוסף הוא חוק המאורע המשלים. אם A′ הוא המאורע המשלים של A, אז:

P(A′) = 1 − P(A)

לדוגמה, בהטלת קובייה הוגנת ההסתברות לקבל מספר זוגי היא 1/2. לכן ההסתברות לקבל מספר שאינו זוגי היא:

1 − 1/2 = 1/2

אם שני מאורעות A ו־B הם זרים, כלומר A ∩ B = ∅, אז ההסתברות של האיחוד שלהם היא סכום ההסתברויות שלהם:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

לדוגמה, בהטלת קובייה נגדיר:

• A = {1, 2}
• B = {5, 6}

המאורעות זרים, ולכן:

P(A) = 2/6
P(B) = 2/6

ולכן:

P(A ∪ B) = 2/6 + 2/6 = 4/6 = 2/3

אם המאורעות אינם זרים, יש להשתמש בחוק החיבור הכללי:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

החיסור נחוץ משום שבחישוב P(A) + P(B) התוצאות המשותפות לשני המאורעות נספרות פעמיים.

נחזור לדוגמת הקובייה:

• A = “התקבל מספר זוגי” = {2, 4, 6}
• B = “התקבל מספר גדול מ־3” = {4, 5, 6}

אז:

P(A) = 3/6
P(B) = 3/6

החיתוך הוא:

A ∩ B = {4, 6}

ולכן:

P(A ∩ B) = 2/6

כעת נחשב את ההסתברות של האיחוד:

P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3

ואכן, האיחוד הוא:

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

כלומר יש בו 4 תוצאות מתוך 6, ולכן ההסתברות היא 4/6, כלומר 2/3.