מה צריך לדעת על «פונקציה רציונלית — נגזרת ויישומים»?

פונקציה רציונלית — נגזרת ויישומים

בשיעור זה נעסוק בפונקציות רציונליות, כלומר בפונקציות המוגדרות כמנה של שני פולינומים. הנגזרת של פונקציה כזו מאפשרת לחשב את שיפוע המשיק בנקודה, לאתר תחומי עלייה וירידה, ולמצוא נקודות קיצון. הרעיון המרכזי הוא שהנגזרת מתארת את קצב השינוי של הפונקציה, ולכן היא כלי מרכזי בחקירת הגרף ובפתרון בעיות קיצון.

הגדרת פונקציה רציונלית ותחום הגדרה

פונקציה רציונלית היא פונקציה מהצורה f(x)=p(x)/q(x), כאשר p(x) ו-q(x) הם פולינומים, ו-q(x) אינו פולינום האפס. תחום ההגדרה של הפונקציה כולל את כל המספרים הממשיים שבהם המכנה שונה מאפס. לכן, לפני גזירה או חקירה, יש למצוא את אפסי המכנה ולהוציא אותם מתחום ההגדרה.

הגרף של פונקציה רציונלית עשוי להיות מורכב ממספר ענפים, שכן נקודות אי-הגדרה מפרידות בין חלקים שונים של התחום. לכן חשוב לא רק למצוא את הנקודות שבהן המכנה מתאפס, אלא גם להבין כיצד הן משפיעות על צורת הגרף.

אם המכנה מתאפס בנקודה מסוימת והמונה אינו מתאפס באותה נקודה, הפונקציה אינה מוגדרת שם, ולגרף יש בדרך כלל אסימפטוטה אנכית. אסימפטוטה אנכית היא ישר אנכי שהגרף מתקרב אליו כאשר ערכי הפונקציה גדלים או קטנים ללא גבול. אם גם המונה מתאפס באותה נקודה, ייתכן שהגורם המשותף ניתן לצמצום, ואז בנקודה זו עשוי להיות "חור" בגרף ולא אסימפטוטה.

דוגמה: עבור הפונקציה f(x)=(x+1)/(x-2), המכנה מתאפס בנקודה x=2. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=2. מכיוון שהמונה בנקודה זו הוא 3, כלומר אינו אפס, יש לגרף אסימפטוטה אנכית x=2. לעומת זאת, עבור הפונקציה f(x)=(x^2-1)/(x-1), אפשר לצמצם את הגורם המשותף x-1 ולקבל את הפונקציה y=x+1, אך הנקודה x=1 עדיין אינה בתחום ההגדרה.

נגזרת של פונקציה רציונלית

כדי לגזור פונקציה רציונלית משתמשים בכלל המנה. אם פונקציה נתונה בצורה f(x)=u(x)/v(x), אז הנגזרת שלה היא:

f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/[v(x)]^2.

הביטוי במונה הנגזרת מתקבל מהכפלת הנגזרת של המונה במכנה, פחות המונה כפול הנגזרת של המכנה. המכנה של הנגזרת הוא ריבוע המכנה המקורי.

חשוב להדגיש שהנגזרת אינה מוגדרת בנקודות שבהן הפונקציה המקורית אינה מוגדרת. גם אם לאחר גזירה מתקבל ביטוי שנראה פשוט, יש להמשיך ולזכור את נקודות אי-ההגדרה של הפונקציה המקורית. כמו כן, מכיוון שהמכנה בנגזרת הוא ריבוע, הוא אינו שלילי; לכן סימן הנגזרת נקבע בדרך כלל לפי המונה שלה.

דוגמה: נתונה הפונקציה f(x)=(3x-1)/(x+2). נגזור אותה לפי כלל המנה:

f'(x)=[3(x+2)-(3x-1)·1]/(x+2)^2
=[3x+6-3x+1]/(x+2)^2
=7/(x+2)^2.

הנגזרת חיובית לכל x≠-2, ולכן הפונקציה עולה בכל אחד משני הענפים שלה. הנקודה x=-2 אינה בתחום ההגדרה, ולכן אינה יכולה להיות נקודת קיצון של הפונקציה.

לעיתים נוח לפשט את הנגזרת לאחר הגזירה, למשל על ידי הוצאת גורם משותף במונה. פישוט כזה מקל על מציאת נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ועל בדיקת סימנה. יחד עם זאת, אין לבטל בעזרת פישוט נקודות שבהן הפונקציה המקורית אינה מוגדרת.

משוואת משיק לגרף הפונקציה הרציונלית

משיק לגרף פונקציה בנקודה הוא ישר העובר דרך אותה נקודה ושיפועו שווה לנגזרת הפונקציה בנקודה זו. כדי למצוא משוואת משיק בנקודה שבה x=x0, יש לבצע שלושה שלבים:

1. לחשב את ערך הפונקציה בנקודה: y0=f(x0).
2. לחשב את שיפוע המשיק: m=f'(x0).
3. להציב את הערכים במשוואת הישר: y-y0=m(x-x0).

אם הנגזרת בנקודה היא אפס, המשיק מקביל לציר ה-x. אם הנגזרת חיובית, המשיק עולה; אם הנגזרת שלילית, המשיק יורד. לכן משוואת המשיק קשורה ישירות לנגזרת ולמשמעות הגרפית שלה.

בפונקציות רציונליות יש לוודא תחילה שהנקודה שבה מבקשים את המשיק אכן נמצאת בתחום ההגדרה. אם הנקודה אינה בתחום, לא ניתן להעביר בה משיק לגרף הפונקציה.

דוגמה: נתונה הפונקציה f(x)=4/(x-1). נמצא את משוואת המשיק בנקודה שבה x=3.

תחילה נחשב את ערך הפונקציה:

f(3)=4/(3-1)=2.

כעת נגזור את הפונקציה:

f'(x)=-4/(x-1)^2.

לכן שיפוע המשיק בנקודה הוא:

f'(3)=-4/(3-1)^2=-4/4=-1.

משוואת המשיק היא:

y-2=-1(x-3).

לאחר פישוט מתקבל:

y=-x+5.

אסימפטוטות והתנהגות הגרף בחקירה

בחלק מהחקירות של פונקציות רציונליות יש להבין כיצד הגרף מתנהג ליד נקודות אי-הגדרה וכאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף. התנהגות זו מסייעת לשרטט סקיצה של הגרף ולהבין האם לנקודות הקיצון יש משמעות מקומית או מוחלטת.

אסימפטוטה אנכית מתקבלת בנקודה שבה המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס, לאחר בדיקת צמצום אפשרי. אסימפטוטה אופקית מתארת את ערך הפונקציה שאליו הגרף מתקרב כאשר x גדל מאוד או קטן מאוד. במקרה שבו מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, האסימפטוטה האופקית היא y=0. אם המעלות שוות, האסימפטוטה האופקית היא היחס בין המקדמים המובילים.

ליד אסימפטוטה אנכית הפונקציה יכולה לשאוף לאינסוף חיובי מצד אחד ולאינסוף שלילי מצד אחר, או לאותו כיוון משני הצדדים. בדיקה זו חשובה כאשר רוצים להבין את צורת הענפים ולהימנע מטעויות בסקיצה.

דוגמה: בפונקציה f(x)=(3x-1)/(x+2), המכנה מתאפס בנקודה x=-2, ולכן יש שם אסימפטוטה אנכית. מכיוון שמעלת המונה ומעלת המכנה שוות, האסימפטוטה האופקית היא היחס בין המקדמים המובילים, כלומר y=3/1=3. מידע זה עוזר להבין את צורת הענפים של הגרף גם לפני חישוב נקודות קיצון.

חקירת פונקציה רציונלית באמצעות הנגזרת

חקירת פונקציה רציונלית באמצעות הנגזרת מתבססת על הקשר בין סימן הנגזרת לבין תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. תחילה מוצאים את תחום ההגדרה ואת נקודות אי-ההגדרה. לאחר מכן גוזרים את הפונקציה ומאתרים נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או שבהן הנגזרת אינה מוגדרת. נקודות אלה הן נקודות חשודות לקיצון מקומי.

יש להבחין בין נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת לבין נקודות שבהן הנגזרת אינה מוגדרת. נקודה שבה הפונקציה עצמה אינה מוגדרת, למשל ליד אסימפטוטה אנכית, אינה נקודת קיצון של הפונקציה, גם אם הנגזרת אינה מוגדרת שם.

כדי לסווג את הנקודות החשודות, בודקים את סימן הנגזרת משני צדיהן. אם הנגזרת עוברת מסימן חיובי לסימן שלילי, הפונקציה עוברת מעלייה לירידה, ולכן מתקבל מקסימום מקומי. אם הנגזרת עוברת מסימן שלילי לסימן חיובי, הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, ולכן מתקבל מינימום מקומי. אם סימן הנגזרת אינו משתנה, אין בנקודה זו קיצון מקומי.

דוגמה: נחקור את הפונקציה f(x)=x/(x^2+1).

תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים, משום שהמכנה x^2+1 חיובי לכל x.

נגזור את הפונקציה לפי כלל המנה:

f'(x)=[1·(x^2+1)-x·2x]/(x^2+1)^2
=(1-x^2)/(x^2+1)^2.

המכנה של הנגזרת חיובי תמיד, ולכן סימן הנגזרת נקבע רק לפי המונה 1-x^2.

הנגזרת מתאפסת כאשר 1-x^2=0, כלומר כאשר x=-1 או x=1.

נבחן את סימן הנגזרת בתחומים שנוצרו:

• עבור x<-1, מתקיים 1-x^2<0, ולכן הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
• עבור -1 < x < 1, מתקיים 1-x^2 > 0, ולכן הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
• עבור x>1, מתקיים 1-x^2<0, ולכן הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

מכאן שבנקודה x=-1 הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, ולכן יש שם מינימום מקומי. ערך הפונקציה בנקודה זו הוא:

f(-1)=-1/(1+1)=-1/2.

בנקודה x=1 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה, ולכן יש שם מקסימום מקומי. ערך הפונקציה בנקודה זו הוא:

f(1)=1/(1+1)=1/2.

בנוסף, מכיוון שמעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, הגרף מתקרב לציר ה-x כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף. לכן הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית. נתון זה מסייע בשרטוט סקיצה של הגרף: עקומה רציפה העוברת בראשית הצירים, יורדת עד מינימום, עולה עד מקסימום, ויורדת שוב תוך התקרבות לציר ה-x.

בעיות קיצון של פונקציה רציונלית

בעיות קיצון רבות מובילות לפונקציה רציונלית, למשל כאשר אחד הגדלים בבעיה מופיע במכנה. כדי לפתור בעיה כזו, יש להגדיר משתנה, לבטא את הגודל הנדרש כפונקציה של המשתנה, ולקבוע את תחום ההגדרה המתאים לנתוני הבעיה. לאחר מכן גוזרים את הפונקציה, מוצאים נקודות חשודות לקיצון, ובודקים אם מתקבל מקסימום או מינימום.

אם התחום הוא תחום פתוח, אפשר להסתמך על סימן הנגזרת כדי לקבוע את סוג הקיצון. אם התחום הוא תחום סגור, יש לבדוק גם את ערכי הפונקציה בקצוות התחום, משום שקיצון מוחלט יכול להתקבל גם בנקודת קצה. לדוגמה, אם בעיה מגבילה את המשתנה לתחום סגור כגון 2≤x≤10, יש לחשב את ערך הפונקציה גם ב-x=2 וגם ב-x=10, ולהשוות לערך שהתקבל בנקודה הפנימית.

בבעיות גיאומטריות או כלכליות יש להקפיד שהמשתנה יהיה הגיוני: אורך חיובי, זמן חיובי, כמות אי־שלילית וכדומה.

דוגמה: שטח מלבן הוא 36 מ"ר. נסמן את רוחב המלבן ב-x מטרים. אז אורך המלבן הוא 36/x מטרים, משום שמכפלת הרוחב באורך חייבת להיות 36.

היקף המלבן הוא סכום ארבע הצלעות:

P(x)=2x+2(36/x)=2x+72/x.

תחום ההגדרה הוא x>0, כי רוחב המלבן חייב להיות חיובי.

נגזור את פונקציית ההיקף:

P'(x)=2-72/x^2.

נשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודה חשודה:

2-72/x^2=0
2=72/x^2
x^2=36
x=6.

הפתרון x=-6 אינו מתאים לתחום ההגדרה, ולכן נשאר עם x=6 בלבד.

כדי לוודא שמדובר במינימום, נבדוק את סימן הנגזרת:

• עבור 0 < x < 6, מתקיים x^2 < 36 ולכן 72/x^2 > 2, כלומר הנגזרת שלילית וההיקף יורד.
• עבור x>6, מתקיים x^2>36 ולכן 72/x^2<2, כלומר הנגזרת חיובית וההיקף עולה.

לכן בנקודה x=6 מתקבל מינימום.

במקרה זה הרוחב הוא 6 מטרים, האורך הוא 36/6=6 מטרים, וההיקף המינימלי הוא:

P(6)=2·6+72/6=12+12=24 מטרים.