מה צריך לדעת על «פונקציה רציונלית — תחום הגדרה ואסימפטוטות»?

פונקציה רציונלית — תחום הגדרה ואסימפטוטות

בשיעור זה נעסוק בפונקציות הבנויות כמנה של שני פולינומים. נבחן כיצד המכנה קובע את תחום ההגדרה, כיצד כל נקודה שבה המכנה מתאפס יוצרת אי־רציפות, וכיצד מחליטים אם בנקודה כזו יש אסימפטוטה אנכית או אי־רציפות סליקה. כמו כן נלמד כיצד מעלות המונה והמכנה מאפשרות למצוא אסימפטוטה אופקית.

מבנה של פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא פונקציה מהצורה
$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$,
כאשר $p(x)$ ו־$q(x)$ הם פולינומים, ו־$q(x)$ אינו פולינום האפס. הפולינום $p(x)$ נקרא המונה, והפולינום $q(x)$ נקרא המכנה.

מכיוון שכל פולינום מוגדר לכל מספר ממשי, הקושי היחיד בהגדרת הפונקציה הוא חלוקה באפס. לכן הערכים שבהם המכנה מתאפס אינם שייכים לתחום ההגדרה, ובנקודות אלה הגרף נקטע. כל חלק של הגרף בין שתי נקודות קטיעה, או מחוץ להן, נקרא ענף.

לדוגמה, שלוש הפונקציות הבאות הן רציונליות:
$f(x)=\frac{x^2}{x^2+2}$,
$g(x)=\frac{x}{x^2+1}$,
$h(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$.
בשתי הפונקציות הראשונות המכנה אינו מתאפס עבור שום $x$ ממשי, ולכן הן מוגדרות לכל $x$. בפונקציה השלישית המכנה מתאפס ב־$x=1$ וב־$x=-1$, ולכן הגרף שלה מורכב משלושה ענפים.

תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית

תחום ההגדרה של פונקציה הוא קבוצת כל הערכים הממשיים של $x$ שעבורם אפשר לחשב את ערך הפונקציה. בפונקציה רציונלית התחום הוא כל המספרים הממשיים, פרט לערכים שמאפסים את המכנה.

כדי למצוא תחום הגדרה:

1. מזהים את המכנה $q(x)$.
2. פותרים את המשוואה $q(x)=0$.
3. מוציאים מתחום ההגדרה כל פתרון ממשי של המשוואה.

דוגמה: נמצא את תחום ההגדרה של
$f(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$.
המכנה הוא $x^2-4$. נשווה אותו לאפס:
$x^2-4=0$,
ולכן
$(x-2)(x+2)=0$.
מתקבלות הנקודות $x=2$ ו־$x=-2$. בשתי נקודות אלה המכנה מתאפס והפונקציה אינה מוגדרת. לכן תחום ההגדרה הוא כל $x$ פרט ל־$2$ ו־$-2$:
$x\neq 2, x\neq -2$.
בצורת אינטרוולים:
$(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)$.

לעומת זאת, בפונקציה
$g(x)=\frac{x}{x^2+1}$
המכנה הוא $x^2+1$. מכיוון ש־$x^2\geq 0$ לכל $x$, מתקיים $x^2+1>0$ לכל $x$, ולכן המכנה לעולם אינו מתאפס. תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.

נקודות אי־רציפות בפונקציה רציונלית

כל נקודה שבה המכנה מתאפס היא נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת, ולכן היא גם נקודת אי־רציפות. הגרף אינו עובר בנקודה כזו, והוא נקטע שם.

עם זאת, לא כל אי־רציפות נראית באותו אופן. יש שני מצבים עיקריים:

• אם המונה שונה מאפס בנקודה שבה המכנה מתאפס, הגרף מתרחק ללא גבול, ויש אסימפטוטה אנכית.
• אם גם המונה מתאפס באותה נקודה, ייתכן שהגבול בנקודה סופי, ואז יש אי־רציפות סליקה.

הבדל זה חשוב גם להבנת הגרף וגם להמשך חקירת הפונקציה.

אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה אנכית היא ישר אנכי מהצורה $x=a$, שהגרף מתקרב אליו ללא גבול כאשר $x$ מתקרב אל $a$ מימין או משמאל. בפועל, ערכי הפונקציה גדלים ללא גבול או קטנים ללא גבול, אך הגרף אינו חוצה את הישר בנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת.

בפונקציה רציונלית, אם מתקיים:

• $q(a)=0$, כלומר המכנה מתאפס ב־$x=a$;
• $p(a)\neq 0$, כלומר המונה אינו מתאפס ב־$x=a$;

אז יש אסימפטוטה אנכית ב־$x=a$.

הסיבה לכך היא שהמונה מתקרב לערך שונה מאפס, ואילו המכנה מתקרב לאפס. מנה שבה המכנה קטן מאוד בערכו המוחלט מקבלת ערך גדול מאוד בערכו המוחלט.

דוגמה: נתבונן בפונקציה
$f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$.
המכנה מתאפס כאשר:
$x^2-1=0$,
ולכן $x=1$ או $x=-1$.
נבדוק את המונה בנקודות אלה:
$x^2=1$ בשתיהן, ולכן המונה שונה מאפס.
מכאן שלגרף יש שתי אסימפטוטות אנכיות:
$x=1$ ו־$x=-1$.

דוגמה פשוטה יותר:
$g(x)=\frac{5}{x-2}$.
המכנה מתאפס ב־$x=2$, והמונה הוא 5, ולכן יש אסימפטוטה אנכית ב־$x=2$.

אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית היא ישר אופקי מהצורה $y=L$, שהגרף מתקרב אליו כאשר $x$ שואף לאינסוף או למינוס אינסוף. אסימפטוטה אופקית מתארת את התנהגות הפונקציה בערכי $x$ גדולים מאוד או קטנים מאוד.

בפונקציה רציונלית, מציאת האסימפטוטה האופקית נעשית לפי השוואת מעלת המונה למעלת המכנה. כאשר $x$ גדול מאוד בערכו המוחלט, האיברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר הם המשפיעים ביותר, ולכן אפשר לבדוק בעיקר את האיברים המובילים.

• אם מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
• אם מעלת המונה שווה למעלת המכנה, האסימפטוטה האופקית היא $y=\frac{a}{b}$, כאשר $a$ ו־$b$ הם המקדמים של האיברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר במונה ובמכנה.
• אם מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, אין אסימפטוטה אופקית.

דוגמה ראשונה:
$f(x)=\frac{x^2}{x^2+2}$.
מעלת המונה היא 2, וגם מעלת המכנה היא 2. המקדם המוביל במונה הוא 1, והמקדם המוביל במכנה הוא 1. לכן האסימפטוטה האופקית היא:
$y=\frac{1}{1}=1$.

דוגמה שנייה:
$g(x)=\frac{x}{x^2+1}$.
מעלת המונה היא 1, ומעלת המכנה היא 2. מכיוון שמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, האסימפטוטה האופקית היא:
$y=0$.

דוגמה שלישית:
$h(x)=\frac{3x+2}{2x-5}$.
מעלת המונה היא 1, ומעלת המכנה היא 1. המקדם המוביל במונה הוא 3, ובמכנה הוא 2. לכן האסימפטוטה האופקית היא:
$y=\frac{3}{2}$.

אי־רציפות סליקה

אי־רציפות סליקה היא נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת, או שבה היא מוגדרת אך ערכה אינו תואם את הגבול, בעוד שהגבול שלה בנקודה קיים וסופי. במצב כזה אפשר “לסלק” את האי־רציפות על ידי הגדרת ערך הפונקציה בנקודה כגבול. בגרף, אי־רציפות סליקה נראית כחור: הגרף מתקרב לנקודה משני הצדדים, אך הנקודה עצמה אינה שייכת לגרף.

בפונקציה רציונלית, אי־רציפות סליקה עשויה להתרחש כאשר המכנה והמונה מתאפסים באותה נקודה, ולאחר צמצום הגורמים המשותפים המכנה שוב אינו מתאפס בה. לאחר הצמצום מתקבל ביטוי שמתנהג כמו הפונקציה המקורית בכל נקודה שבה הפונקציה המקורית מוגדרת, אך בנקודה עצמה הפונקציה המקורית עדיין אינה מוגדרת.

דוגמה: נתבונן בפונקציה
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$.
בנקודה $x=1$ המכנה מתאפס, ולכן הפונקציה אינה מוגדרת. נבדוק גם את המונה:
$1^2-1=0$,
ולכן גם המונה מתאפס ב־$x=1$.

נפרק את המונה לגורמים:
$x^2-1=(x-1)(x+1)$.
לכן עבור $x\neq 1$ אפשר לכתוב:
$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$.
הפונקציה המקורית שווה ל־$x+1$ לכל $x\neq 1$, אך ב־$x=1$ היא אינה מוגדרת. הגבול כאשר $x$ שואף ל־1 הוא:
$\lim_{x\to 1}(x+1)=2$.
לכן יש אי־רציפות סליקה בנקודה $x=1$, והנקודה החסרה בגרף היא $(1,2)$. אין שם אסימפטוטה אנכית.

חשוב להבחין: אם לאחר צמצום הגורם המשותף המכנה עדיין מתאפס באותה נקודה, הנקודה אינה סליקה אלא אסימפטוטה אנכית. לדוגמה:
$f(x)=\frac{x-1}{(x-1)^2}$.
אפשר לצמצם גורם אחד ולקבל, עבור $x\neq 1$:
$f(x)=\frac{1}{x-1}$.
גם לאחר הצמצום המכנה מתאפס ב־$x=1$, ולכן יש אסימפטוטה אנכית ב־$x=1$.

קדם אנליזה של פונקציה רציונלית

קדם אנליזה היא בדיקה מסודרת של תכונות בסיסיות של הפונקציה לפני חקירה מלאה בעזרת נגזרת. בפונקציה רציונלית, הבדיקה כוללת את תחום ההגדרה, נקודות אי־רציפות, אסימפטוטות מאונכות לצירים ונקודות חיתוך עם הצירים. בדיקת תחום ההגדרה נעשית לפני גזירה, כי נגזרת אינה מוגדרת בנקודות שבהן הפונקציה עצמה אינה מוגדרת.

סדר פעולה מומלץ:

1. מזהים את המונה ואת המכנה, ואת מעלותיהם.
2. מוצאים את תחום ההגדרה על ידי פתרון $q(x)=0$.
3. בודקים כל נקודה שבה המכנה מתאפס: אם המונה שונה מאפס, יש אסימפטוטה אנכית; אם גם המונה מתאפס, בודקים אם לאחר צמצום מתקבלת אי־רציפות סליקה.
4. מוצאים אסימפטוטה אופקית לפי מעלות המונה והמכנה.
5. מוצאים חיתוך עם הצירים: חיתוך עם ציר $y$ מתקבל על ידי הצבת $x=0$, אם $0$ בתחום ההגדרה; חיתוך עם ציר $x$ מתקבל על ידי פתרון $p(x)=0$, בתנאי שהפתרון שייך לתחום ההגדרה.

דוגמה קצרה: נתבונן בפונקציה
$f(x)=\frac{2x}{x^2-9}$.
המונה הוא $2x$ ומעלתו 1. המכנה הוא $x^2-9$ ומעלתו 2.
נמצא את תחום ההגדרה:
$x^2-9=0$,
ולכן $x=3$ או $x=-3$. תחום ההגדרה הוא כל $x$ פרט ל־$3$ ו־$-3$.
בנקודות אלה המונה שונה מאפס:
ב־$x=3$ המונה הוא 6, וב־$x=-3$ המונה הוא $-6$. לכן יש שתי אסימפטוטות אנכיות:
$x=3$ ו־$x=-3$.
מכיוון שמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, האסימפטוטה האופקית היא:
$y=0$.
נמצא חיתוך עם הצירים: נציב $x=0$ ונקבל $f(0)=0$, ולכן הגרף עובר בראשית הצירים. גם פתרון המונה $2x=0$ נותן $x=0$, ונקודה זו בתחום ההגדרה, ולכן נקודת החיתוך עם הצירים היא $(0,0)$.