מה צריך לדעת על «פונקציית שורש — תכונות, נגזרת ויישומים»?

פונקציית שורש — תכונות, נגזרת ויישומים

בשיעור נעסוק בפונקציית השורש הריבועי, בתחום ההגדרה שלה, בגרף ובנגזרת. נלמד כיצד לגזור פונקציות שבהן השורש מופיע כהרכבה או כמכפלה, כיצד למצוא משיק, וכיצד להשתמש בנגזרת בחקירה ובבעיות קיצון.

פונקציית השורש הריבועי ותחום ההגדרה

פונקציית השורש הריבועי מוגדרת על ידי $f(x)=\sqrt{x}$. בתחום הממשי, השורש מוגדר רק כאשר הביטוי שבתוכו אינו שלילי, ולכן תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x}$ הוא $x \ge 0$. ערכי הפונקציה גם הם אינם שליליים: $\sqrt{x} \ge 0$. הגרף מתחיל בנקודה $(0,0)$, עולה לכל אורכו, וקעור כלפי מטה.

הפונקציה רציפה בכל תחום ההגדרה. בנקודה $x=0$ יש לה נקודת קצה: מצד שמאל הפונקציה אינה מוגדרת, ולכן אין שם נגזרת חד־צדדית משמאל. גם הנגזרת מימין אינה סופית: השיפוע שואף לאינסוף, ולכן לגרף יש משיק אנכי בנקודה זו.

חשוב לזכור: הסימון $\sqrt{a}$ מציין את השורש האי־שלילי בלבד. לכן $\sqrt{9}=3$, ולא $\pm 3$. כמו כן, לכל מספר ממשי $a$ מתקיים $\sqrt{a^2}=|a|$. לדוגמה:

$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$

מסיבה זו, כאשר פותרים משוואה עם שורש ומעלים את שני האגפים בריבוע, עלולים להתקבל פתרונות זרים. כל פתרון של המשוואה המקורית יתאים גם למשוואה שהועלתה בריבוע, אך לא להפך; לכן יש לבדוק כל פתרון בהצבה במשוואה המקורית.

כאשר השורש מופיע כהרכבה, כלומר בפונקציה מהצורה $g(x)=\sqrt{f(x)}$, תחום ההגדרה הוא כל ה־$x$ שעבורם $f(x) \ge 0$. יש לפתור את אי־השוויון הזה לפני כל חישוב אחר.

דוגמה: עבור $g(x)=\sqrt{2x-6}$, נדרוש:

$2x-6 \ge 0$

ולכן $x \ge 3$. תחום ההגדרה הוא $[3,\infty)$.

עבור $h(x)=\sqrt{x^2-9}$, נדרוש:

$x^2-9 \ge 0$

ולכן $x \le -3$ או $x \ge 3$.

קדם אנליזה: הזזות, שיקופים והרכבת שורש

את הגרף של פונקציות שורש אפשר לתאר בעזרת העברות המוכרות מקדם אנליזה. אם הגרף הבסיסי הוא $y=\sqrt{x}$, אז:

• $y=\sqrt{x-a}$ מתקבל בהזזה של הגרף הבסיסי $a$ יחידות ימינה אם $a>0$, או $|a|$ יחידות שמאלה אם $a<0$.
• $y=\sqrt{x}+b$ מתקבל בהזזה $b$ יחידות למעלה אם $b>0$, או $|b|$ יחידות למטה אם $b<0$.
• $y=-\sqrt{x}$ הוא שיקוף של הגרף ביחס לציר $x$.
• $y=\sqrt{-x}$ הוא שיקוף של הגרף ביחס לציר $y$, ותחום ההגדרה שלו הוא $x \le 0$.
• $y=a\sqrt{x}$ עבור $a>0$ הוא מתיחה אנכית אם $a>1$, וכיווץ אנכי אם $0<a<1$. עבור $a=1$ הגרף אינו משתנה.

בהרכבה $g(x)=\sqrt{f(x)}$, תחום ההגדרה נקבע לפי התנאי $f(x)\ge0$. כאשר $0<f(x)<1$, מתקיים $\sqrt{f(x)}>f(x)$. כאשר $f(x)>1$, מתקיים $\sqrt{f(x)}<f(x)$. בנקודות שבהן $f(x)=0$ או $f(x)=1$, הערך אינו משתנה. כללים אלה מסייעים בסקיצה מהירה.

דוגמה: הפונקציה $g(x)=\sqrt{x-2}+1$ היא העברה של $y=\sqrt{x}$ שתי יחידות ימינה ויחידה אחת למעלה. תחום ההגדרה הוא $x \ge 2$, ונקודת הקצה של הגרף היא $(2,1)$.

נגזרת של שורש ריבועי

הנגזרת של פונקציית השורש הבסיסית היא:

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

עבור $x>0$. בנקודה $x=0$ הפונקציה מוגדרת ורציפה, אך אינה גזירה; השיפוע שואף לאינסוף, ולכן לגרף יש שם משיק אנכי. לגרף הנגזרת יש באותה נקודה אסימפטוטה אנכית.

אם הפונקציה היא הרכבה, $g(x)=\sqrt{f(x)}$, משתמשים בכלל השרשרת:

$g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

והנוסחה תקפה בנקודות שבהן $f(x)>0$. אם $f(x)=0$, הנגזרת אינה מוגדרת בדרך כלל, ויש לבדוק את ההתנהגות בנקודה זו בנפרד. אם $f(x)>0$ אך $f'(x)=0$, אז נגזרת ההרכבה מתאפסת גם היא; במקרה כזה מתקבלת נקודה חשודה לקיצון בפונקציית השורש.

דוגמה: נתונה $f(x)=\sqrt{3x+1}$.
הפונקציה הפנימית היא $3x+1$, ונגזרתה $3$. לכן:

$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

תחום ההגדרה הוא $3x+1 \ge 0$, כלומר $x \ge -\frac{1}{3}$, אך הנגזרת מוגדרת רק עבור $x>-\frac{1}{3}$.

כאשר השורש מופיע כמכפלה, משתמשים בכלל המכפלה ובכלל השרשרת יחד. אם $h(x)=u(x)\sqrt{v(x)}$, אז:

$h'(x)=u'(x)\sqrt{v(x)}+u(x)\cdot \frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}$

דוגמה: נתונה $h(x)=x\sqrt{x+4}$.
נסמן $u(x)=x$, ולכן $u'(x)=1$. כמו כן $v(x)=x+4$, ולכן $v'(x)=1$. נקבל:

$h'(x)=1\cdot \sqrt{x+4}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$

אם נרצה לאחד לשבר אחד:

$h'(x)=\sqrt{x+4}+\frac{x}{2\sqrt{x+4}}$

$h'(x)=\frac{2(x+4)+x}{2\sqrt{x+4}}=\frac{3x+8}{2\sqrt{x+4}}$

הנגזרת מוגדרת עבור $x>-4$.

משוואת משיק לגרף פונקציית שורש

כדי למצוא משוואת משיק לגרף פונקציית שורש בנקודה שבה הנגזרת מוגדרת, פועלים לפי השלבים הרגילים: מציאת ערך הפונקציה בנקודה, חישוב הנגזרת, והצבה בנוסחת המשיק:

$y-y_0=m(x-x_0)$

כאשר $m=f'(x_0)$.

דוגמה: נתונה $f(x)=\sqrt{x+3}$, ונמצא את המשיק בנקודה שבה $x=1$.
תחילה נחשב את ערך הפונקציה:

$f(1)=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

לכן נקודת ההשקה היא $(1,2)$.
הנגזרת היא:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

ולכן השיפוע בנקודה $x=1$ הוא:

$f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$

נציב בנוסחת המשיק:

$y-2=\frac{1}{4}(x-1)$

ולכן משוואת המשיק היא:

$y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}$

בנקודת קצה שבה הפונקציה הפנימית מתאפסת, ייתכן משיק אנכי. לדוגמה, עבור $f(x)=\sqrt{x}$ בנקודה $(0,0)$, הנגזרת אינה מוגדרת, אך הגרף נוגע בקו האנכי $x=0$. במקרה כזה משוואת המשיק היא $x=0$. אם נקודת ההשקה היא נקודת קצה של תחום ההגדרה, יש לבדוק אם קיים משיק אנכי או שהמשיק אינו מוגדר.

חקירת פונקציית שורש

חקירת פונקציית שורש כוללת את השלבים המקובלים בחקירת פונקציות, תוך התייחסות מיוחדת לתחום ההגדרה ולנקודות שבהן הנגזרת אינה מוגדרת.

סדר עבודה מומלץ:

1. מציאת תחום ההגדרה על ידי דרישה שהביטוי בתוך השורש יהיה אי־שלילי.
2. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים. חיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר הפונקציה מתאפסת, כלומר כאשר הביטוי בתוך השורש שווה $0$. חיתוך עם ציר $y$ מתקבל על ידי הצבת $x=0$, אם $0$ בתחום ההגדרה.
3. בדיקת חיוביות ושליליות. פונקציה שבה מופיע שורש ריבועי בלבד מקיימת $\sqrt{f(x)} \ge 0$, ולכן היא אינה שלילית. היא תהיה שלילית ממש רק אם יש לפניה מקדם שלילי, למשל $-\sqrt{f(x)}$.
4. חישוב הנגזרת הראשונה ומציאת נקודות שבהן היא מתאפסת או אינה מוגדרת.
5. קביעת תחומי עלייה וירידה וסוג הקיצון בעזרת טבלת סימנים של הנגזרת, או בעזרת ערכי הפונקציה בסביבת הנקודה.
6. בדיקת קצוות תחום ההגדרה. בפונקציות שורש, מינימום או מקסימום מוחלטים יכולים להתקבל גם בנקודת קצה של התחום, גם אם הנגזרת אינה מתאפסת שם.

אם נדרשת קעירות או נקודת פיתול, מחשבים את הנגזרת השנייה. בפונקציית השורש הבסיסית הנגזרת השנייה שלילית לכל $x>0$, ולכן הגרף קעור כלפי מטה. בפונקציות שורש מורכבות יותר יש לחשב את הנגזרת השנייה בעזרת כללי הגזירה ולבדוק את סימנה.

בפונקציות שורש מורכבות יותר יש לבדוק גם התנהגות באינסוף; ייתכנו אסימפטוטות אופקיות שונות בשאיפה לאינסוף ובשאיפה למינוס אינסוף.

דוגמה קצרה: נחקור את $f(x)=\sqrt{4-x^2}$.
תחום ההגדרה:

$4-x^2 \ge 0$

ולכן $-2 \le x \le 2$.
נקודות חיתוך עם ציר $x$:

$4-x^2=0$

ולכן $x=\pm 2$. חיתוך עם ציר $y$:

$f(0)=\sqrt{4}=2$

הנגזרת היא:

$f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

הנגזרת מתאפסת ב־$x=0$, ואינה מוגדרת בנקודות הקצה $x=\pm 2$.
בתחום $-2<x<0$ הנגזרת חיובית, ולכן הפונקציה עולה. בתחום $0<x<2$ הנגזרת שלילית, ולכן הפונקציה יורדת. לכן ב־$(0,2)$ מתקבל מקסימום מוחלט. בנקודות הקצה $(-2,0)$ ו־$(2,0)$ מתקבל מינימום מוחלט.

בעיות קיצון של פונקציית שורש

בבעיות קיצון הכוללות שורש, יש להתייחס לשלוש נקודות עיקריות: תחום ההגדרה, נגזרת הפונקציה, וקצוות התחום. מאחר שהפונקציה $\sqrt{t}$ עולה עבור $t \ge 0$, אם צריך למצוא קיצון של $\sqrt{g(x)}$ והביטוי $g(x)$ אינו שלילי בתחום, אפשר לעיתים למצוא את הקיצון של $g(x)$ עצמו. עם זאת, בפתרון מלא באמצעות נגזרת יש לגזור את הפונקציה הנתונה ולבדוק גם נקודות שבהן הנגזרת אינה מוגדרת.

בבעיה מילולית יש לתרגם את הנתונים לפונקציה, לזהות את המשתנה ואת התחום שבו הוא מותר. לעיתים התחום נובע מהמשמעות הפיזיקלית, למשל אורך חיובי או נקודה הנמצאת בין שני מקומות נתונים.

דוגמה: נמצא את המינימום והמקסימום המוחלטים של הפונקציה

$f(x)=\sqrt{x^2-6x+25}$

בתחום $0 \le x \le 6$.

תחילה נגזור. הביטוי בתוך השורש הוא $x^2-6x+25$, ונגזרתו $2x-6$. לכן:

$f'(x)=\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+25}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+25}}$

המכנה חיובי לכל $x$, ולכן הנגזרת מתאפסת כאשר:

$x-3=0$

כלומר $x=3$.

כעת נבדוק את הנקודה הפנימית ואת קצוות התחום:

$f(3)=\sqrt{9-18+25}=\sqrt{16}=4$

$f(0)=\sqrt{0-0+25}=\sqrt{25}=5$

$f(6)=\sqrt{36-36+25}=\sqrt{25}=5$

לכן בתחום הנתון, המינימום המוחלט הוא $4$ ומתקבל ב־$x=3$. המקסימום המוחלט הוא $5$ ומתקבל בשני הקצוות, $x=0$ ו־$x=6$.

ניתן גם לזהות את המבנה של הביטוי בתוך השורש:

$x^2-6x+25=(x-3)^2+16$

הביטוי הריבועי מינימלי כאשר $x=3$, ומכיוון שפונקציית השורש עולה, גם פונקציית השורש מינימלית שם. אם הפונקציה היא שורש של ביטוי ריבועי, לעיתים נוח להשלים לריבוע כדי לבדוק את התוצאה, אך את סוג הקיצון יש לקבוע לפי הנגזרת או לפי השוואת ערכים בתחום הנתון. כאשר נתון תחום סגור, עדיין חובה לבדוק את הקצוות, משום שדווקא בהם עלול להתקבל הערך הגדול ביותר.