מה צריך לדעת על «פרבולה כמקום גאומטרי»?

פרבולה כמקום גאומטרי

פרבולה היא עקומה שמוגדרת על ידי תנאי מרחקים פשוט: כל נקודה עליה רחוקה במידה שווה מנקודה קבועה ומישר קבוע. תנאי זה מאפשר לעבור מתיאור גאומטרי למשוואה אלגברית, וממנה לחקור תכונות, חיתוכים עם ישרים ומעגלים, ומשיקים.

הגדרת הפרבולה כמקום גאומטרי

פרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה ומישר קבוע שווה. הנקודה הקבועה נקראת מוקד, והישר הקבוע נקרא מדריך. הנקודה שנמצאת בדיוק באמצע בין המוקד למדריך נקראת קודקוד הפרבולה, והמרחק בין המוקד למדריך נקרא פרמטר הפרבולה.

כדי להבין כיצד ההגדרה הופכת למשוואה, נסתכל על דוגמה. נניח שהמוקד הוא הנקודה $A(1,0)$ והמדריך הוא הישר $x=-1$. ניקח נקודה כללית $P(x,y)$ ונדרוש שמרחקה מהמוקד יהיה שווה למרחקה מהמדריך.

מרחק הנקודה $P$ מהמדריך $x=-1$ הוא $|x+1|$. מרחקה מהמוקד $A$ הוא:

$\sqrt{(x-1)^2+y^2}$

נשווה את המרחקים ונעלה בריבוע:

$(x-1)^2+y^2=(x+1)^2$

נפתח סוגריים:

$x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1$

נחסר $x^2+1$ משני האגפים ונקבל:

$y^2=4x$

לכן המקום הגאומטרי הוא הפרבולה $y^2=4x$. בדוגמה זו המרחק בין המדריך למוקד הוא 2, ולכן פרמטר הפרבולה הוא 2. הקודקוד הוא ראשית הצירים $(0,0)$, המוקד הוא $(1,0)$, והמדריך הוא $x=-1$.

משוואה קנונית ותכונות הפרבולה

כאשר ממקמים את הפרבולה כך שהקודקוד שלה בראשית הצירים, המדריך הוא הישר $x=-\frac{p}{2}$ והמוקד הוא הנקודה $\left(\frac{p}{2},0\right)$, מתקבלת המשוואה הקנונית:

$y^2=2px$

כאן $p$ הוא המרחק בין המוקד למדריך. אם ניקח נקודה כללית $M(x,y)$ על הפרבולה, מרחקה מהמדריך הוא $\left|x+\frac{p}{2}\right|$, ומרחקה מהמוקד הוא:

$\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}$

לאחר השוואת המרחקים והעלאה בריבוע מתקבל:

$\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2$

נפתח סוגריים:

$x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}$

נחסר את האיברים המשותפים ונקבל:

$y^2=2px$

זוהי המשוואה הקנונית של פרבולה שציר הסימטריה שלה הוא ציר $x$.

מהמשוואה נובעות תכונות מרכזיות:

• אם $p>0$ במשוואה $y^2=2px$, הפרבולה נפתחת ימינה, וכל נקודותיה מקיימות $x\ge 0$.
• אם המשוואה היא $y^2=-2px$, הפרבולה נפתחת שמאלה, וכל נקודותיה מקיימות $x\le 0$.
• הפרבולה סימטרית ביחס לציר $x$, משום שהחלפת $y$ ב-$-y$ אינה משנה את המשוואה.
• הקודקוד הוא הנקודה $(0,0)$.
• לכל $x>0$ מתאימים שני ערכים של $y$, ולכן הפרבולה אינה גרף של פונקציה של $x$. אפשר לתאר אותה כשני ענפים: $y=\sqrt{2px}$ ו-$y=-\sqrt{2px}$.

באופן דומה, פרבולה שציר הסימטריה שלה הוא ציר $y$ מתוארת במשוואה הקנונית:

$x^2=2py$

עבור $p>0$ פרבולה זו נפתחת מעלה, המוקד שלה הוא $\left(0,\frac{p}{2}\right)$, והמדריך שלה הוא $y=-\frac{p}{2}$. אם הסימן שלילי, היא נפתחת כלפי מטה.

הפונקציה הריבועית $y=ax^2+bx+c$ גם היא מתארת פרבולה, שציר הסימטריה שלה מקביל לציר $y$. אפשר להציג אותה כהזזה של הפרבולה $y=ax^2$, ולכן גם לה יש מוקד ומדריך. לדוגמה, לפרבולה $y=\frac{1}{8}x^2$ יש מוקד $(0,2)$ ומדריך $y=-2$. אם מזיזים אותה ימינה ב-2 יחידות ולמעלה ב-3 יחידות, מתקבלת הפרבולה:

$y=\frac{1}{8}(x-2)^2+3$

ולכן המוקד שלה הוא $(2,5)$ והמדריך שלה הוא $y=1$.

מצבים הדדיים בין ישר לפרבולה

כדי לבדוק כיצד ישר ופרבולה ממוקמים זה ביחס לזה, פותרים את מערכת המשוואות שלהם. מספר הפתרונות הממשיים של המערכת הוא מספר נקודות החיתוך. כאשר מציבים את משוואת הישר במשוואת הפרבולה, מתקבלת בדרך כלל משוואה ריבועית, ולכן מספר נקודות החיתוך הוא לרוב 0, 1 או 2.

הדיסקרימיננטה, המסומנת $\Delta$, היא הביטוי $b^2-4ac$ עבור משוואה ריבועית $ax^2+bx+c=0$. היא מאפשרת לקבוע כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה.

המצבים האפשריים הם:

• שתי נקודות חיתוך: מתקבלת משוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה חיובית. הישר חותך את הפרבולה בשני מקומות.
• אין נקודות חיתוך: מתקבלת משוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שלילית. הישר זר לפרבולה.
• נקודה אחת והישר מקביל לציר הפרבולה: במקרה זה יש פתרון אחד, אך הישר אינו משיק. לדוגמה, בפרבולה $y=x^2$ הישר $x=3$ מקביל לציר הפרבולה ופוגש אותה בנקודה אחת בלבד, $(3,9)$.
• נקודה אחת והישר אינו מקביל לציר הפרבולה: במקרה זה הישר משיק לפרבולה. מבחינה אלגברית, מתקבלת משוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שווה לאפס.

חשוב להבחין בין שני המקרים שבהם יש נקודה משותפת אחת. לא כל ישר שיש לו עם הפרבולה נקודה אחת בלבד הוא משיק. אם הישר מקביל לציר הפרבולה, הוא עשוי לפגוש אותה בנקודה אחת בלבד מבלי להשיק לה.

דוגמה: נבדוק את המצב ההדדי של הפרבולה $y=x^2$ והישר $y=2x-1$. נשווה את המשוואות:

$x^2=2x-1$

נעביר אגפים:

$x^2-2x+1=0$

נפרק לגורמים:

$(x-1)^2=0$

לכן $x=1$, ומציבים בפרבולה או בישר ומקבלים $y=1$. יש נקודה משותפת אחת: $(1,1)$. מכיוון שהישר אינו מקביל לציר הפרבולה, הוא משיק לפרבולה בנקודה זו.

לעומת זאת, אם נבדוק את הישר $y=x+2$ עם אותה פרבולה, נקבל:

$x^2=x+2$

כלומר:

$x^2-x-2=0$

ולכן $x=2$ או $x=-1$. במקרה זה יש שתי נקודות חיתוך.

מצבים הדדיים בין מעגל לפרבולה

גם את המצב ההדדי של מעגל ופרבולה בודקים על ידי מציאת נקודות שמקיימות את שתי המשוואות. כאן שתי העקומות הן ממעלה שנייה, ולכן מספר נקודות החיתוך יכול להיות גדול יותר מאשר בין ישר לפרבולה. מעגל ופרבולה יכולים להיחתך ב-0, 1, 2, 3 או 4 נקודות, בהתאם למיקום ולגודל שלהם.

נקודה אחת משותפת עשויה להעיד על השקה: למעגל ולפרבולה יש באותה נקודה משיק משותף. עם זאת, לעיתים מתקבלת נקודה אחת בלבד גם בגלל תחום הערכים של הפרבולה או בגלל צמצום הפתרונות לאחר הצבה. לכן יש לבדוק את המשוואה המתקבלת ואת משמעות הפתרונות. אם לאחר ההצבה מתקבל שורש כפול, למשל $(x-a)^2=0$, הדבר מתאים בדרך כלל למגע של העקומות, כלומר להשקה.

דרך העבודה היא להציב את משוואת הפרבולה במשוואת המעגל, או להפך. אם מתקבלת משוואה שאפשר לפתור, מוצאים את כל הפתרונות הממשיים וסופרים אותם. כאשר מתקבלת משוואה ממעלה רביעית, לעיתים אפשר להציב משתנה עזר או לפרק לגורמים.

דוגמה: נתון המעגל

$x^2+y^2=2$

והפרבולה

$y=x^2$

נציב את $y=x^2$ במשוואת המעגל:

$x^2+(x^2)^2=2$

כלומר:

$x^4+x^2-2=0$

נציב $t=x^2$, ונזכור כי $t\ge 0$. מתקבלת המשוואה:

$t^2+t-2=0$

נפרק לגורמים:

$(t+2)(t-1)=0$

הפתרונות הם $t=-2$ או $t=1$. מכיוון ש-$t=x^2$ אינו שלילי, רק $t=1$ מתאים. לכן $x^2=1$, כלומר $x=1$ או $x=-1$. בשני המקרים $y=x^2=1$. מתקבלות שתי נקודות חיתוך:

$(1,1),\;(-1,1)$

לכן המעגל והפרבולה נחתכים בשתי נקודות.

משיק לפרבולה בנקודה שעליה

משיק לפרבולה בנקודה שעליה הוא ישר העובר דרך אותה נקודה, יש לו עם הפרבולה נקודה משותפת אחת בלבד, והוא אינו מקביל לציר הפרבולה. את המשיק אפשר למצוא בעזרת נגזרת או בעזרת תנאי השקה.

אם הפרבולה נתונה כפונקציה $y=f(x)$, שיפוע המשיק בנקודה $(x_1,y_1)$ הוא $f'(x_1)$. לאחר מכן כותבים את משוואת הישר בעזרת הנוסחה:

$y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

דוגמה: נתונה הפרבולה

$y=2x^2-x$

ונרצה למצוא את המשיק בנקודה $(1,1)$. תחילה נבדוק שהנקודה אכן על הפרבולה:

$2\cdot 1^2-1=1$

כעת נגזור:

$f'(x)=4x-1$

נציב $x=1$:

$f'(1)=4\cdot 1-1=3$

לכן שיפוע המשיק הוא 3. משוואת המשיק:

$y-1=3(x-1)$

ולאחר פישוט:

$y=3x-2$

דרך נוספת היא תנאי השקה. עבור הפרבולה הקנונית

$y^2=2px$

והישר

$y=mx+n$

נציב את משוואת הישר במשוואת הפרבולה:

$(mx+n)^2=2px$

נפתח סוגריים ונסדר כמשוואה ריבועית ב-$x$:

$m^2x^2+(2mn-2p)x+n^2=0$

כדי שהישר יהיה משיק, נדרוש שלמשוואה יהיה פתרון יחיד, כלומר שהדיסקרימיננטה תהיה שווה לאפס:

$(2mn-2p)^2-4m^2n^2=0$

לאחר פישוט מתקבל התנאי:

$p=2mn$

התנאי תקף לישרים שאינם אנכיים. בפרבולה $y^2=2px$ המשיק בקודקוד הוא הישר האנכי $x=0$, ולכן אינו נכלל בצורה $y=mx+n$.

לפרבולה הקנונית יש גם נוסחת משיק בנקודה נתונה. אם $(x_1,y_1)$ היא נקודה על הפרבולה

$y^2=2px$

אז משוואת המשיק בנקודה זו היא:

$yy_1=p(x+x_1)$

אם נקודת ההשקה היא הקודקוד $(0,0)$, הנוסחה נותנת $x=0$, כלומר את המשיק האנכי לפרבולה הקנונית.

דוגמה: נתונה הפרבולה

$y^2=8x$

והנקודה $(2,4)$ שעליה. נבדוק שהנקודה על הפרבולה:

$4^2=16,\quad 8\cdot 2=16$

במשוואה $y^2=8x$ מתקיים $2p=8$, ולכן $p=4$. נציב בנוסחת המשיק:

$y\cdot 4=4(x+2)$

נחלק ב-4:

$y=x+2$

לכן משוואת המשיק לפרבולה $y^2=8x$ בנקודה $(2,4)$ היא $y=x+2$.