מה צריך לדעת על «פונקציית הצטברות ושטחים»?

פונקציית הצטברות ושטחים

הלמידה כאן עוסקת בפונקציה שמתארת את השטח המסומן שנאסף מתחת לגרף נתון כאשר הגבול העליון של הקטע משתנה. הרעיון המרכזי הוא שהאינטגרל עם גבול עליון משתנה אינו רק מספר, אלא פונקציה שלמה, ושהנגזרת שלה מחזירה את הפונקציה המקורית. מתוך הקשר הזה אפשר לעבור בין גרפים, לחשב שטחים ולהבין את המשמעות של אינטגרל מסוים.

מהי פונקציית הצטברות של שטח

תהי פונקציה רציפה f המוגדרת בקטע [a,b]. לכל x בקטע נגדיר:

F(x)=∫_a^x f(t)dt.

המשמעות היא שסוכמים את ערכי הפונקציה מ־a עד x. המשתנה t הוא משתנה דמה בלבד, והתוצאה תלויה בערך של x. לכן מתקבלת פונקציה חדשה, שבה כל קלט מייצג גבול ימני אחר של ההצטברות.

אם f חיובית בקטע, כל התקדמות של x מוסיפה שטח חיובי בין הגרף לציר, ולכן ערך ההצטברות גדל. אם f שלילית, השטח המסומן שנאסף הוא שלילי, ולכן ערך ההצטברות קטן. מכאן החשיבות של הבחנה בין שטח גאומטרי, שהוא תמיד אי־שלילי, לבין שטח מסומן, שבו אזורים מתחת לציר נספרים כשליליים.

נקודת המוצא היא תמיד F(a)=0, כי אין שטח בין a לבין עצמו. כאשר x זז ימינה, F(x) משתנה לפי השטח של הרצועה שבין הגבול הקודם לגבול החדש. אם מגיעים עד b, אז F(b) הוא השטח המסומן הכולל מ־a עד b.

דוגמה קצרה: נתונה הפונקציה הקבועה f(t)=3 בקטע [0,4]. נגדיר F(x)=∫_0^x 3dt. עבור x=2 מתקבל F(2)=3·2=6. עבור x=4 מתקבל F(4)=3·4=12. אפשר לראות זאת כשטח של מלבן שגובהו 3 ורוחבו x. אם הפונקציה הייתה f(t)=-3, היינו מקבלים F(x)=-3x, כלומר הצטברות שלילית של אותו גודל.

דוגמה נוספת: אם f(t)=t ו־x≥0, השטח מ־0 עד x הוא שטח משולש שניצביו x ו־x. לכן F(x)=x·x/2=x^2/2. עבור x=3 מתקבל F(3)=9/2=4.5. כאן אפשר לראות שההצטברות אינה ליניארית, משום שהתרומה של כל יחידת x נעשית גדולה יותר ככל שהגרף עולה.

הקשר בין פונקציית הצטברות לפונקציה קדומה

פונקציה קדומה של f היא פונקציה G שמקיימת G'(x)=f(x). למשל, אם f(x)=2x, אז G(x)=x^2 היא פונקציה קדומה, וגם G(x)=x^2+7 היא פונקציה קדומה, כי הוספת קבוע אינה משנה את הנגזרת.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קושר בין ההצטברות לבין הגזירה. אם f רציפה בקטע, אז פונקציית ההצטברות F(x)=∫_a^x f(t)dt גזירה, ומתקיים F'(x)=f(x). כלומר, פונקציית ההצטברות היא פונקציה קדומה של f. הביטוי ∫_a^b f(x)dx נקרא אינטגרל מסוים, והוא מייצג את ההפרש בין ערך ההצטברות ב־b לבין ערכה ב־a.

מכאן נובע כלל חישוב חשוב: אם G היא פונקציה קדומה של f, אז לכל x בקטע מתקיים F(x)=G(x)-G(a). הסיבה היא שההפרש בין שתי פונקציות קדומות הוא קבוע, והתנאי F(a)=0 קובע את הקבוע. עבור האינטגרל המסוים מתקבל:

∫_a^b f(x)dx = G(b)-G(a).

דוגמה: נתונה f(x)=2x+1 ונבחר a=0. פונקציה קדומה היא G(x)=x^2+x. לכן פונקציית ההצטברות היא F(x)=G(x)-G(0)=x^2+x. נחשב את השטח המסומן מ־0 עד 3:

F(3)-F(0)=(3^2+3)-0=12.

גם מבחינה גאומטרית מתקבל שטח של טרפז: הבסיסים הם f(0)=1 ו־f(3)=7, הגובה הוא 3, ולכן השטח הוא ((1+7)·3)/2=12.

אם נבחר נקודת התחלה אחרת, למשל a=1, נקבל פונקציית הצטברות אחרת: F(x)=G(x)-G(1). עבור f(x)=2x+1 מתקבלת F(x)=x^2+x-2. גם פונקציה זו נגזרת ל־f, אך היא מתחילה מערך 0 ב־x=1.

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף פונקציית ההצטברות

הקשר F'(x)=f(x) מאפשר לקרוא מידע מגרף של f ולהסיק על גרף של F.

• כאשר הגרף של f נמצא מעל ציר x, כלומר f(x)>0, פונקציית ההצטברות עולה.
• כאשר הגרף של f נמצא מתחת לציר x, כלומר f(x)<0, פונקציית ההצטברות יורדת.
• בנקודה שבה f(x)=0 יש לגרף של F משיק אופקי. אם הסימן של f משתנה בנקודה זו, מתקבלת נקודת קיצון של F.
• אם f עוברת מחיובי לשלילי, F עוברת מעלייה לירידה, ולכן מתקבלת נקודת מקסימום מקומית.
• אם f עוברת משלילי לחיובי, F עוברת מירידה לעלייה, ולכן מתקבלת נקודת מינימום מקומית.

גם הקעירות של F נובעת מהשינוי של f. אם f עולה, אז הנגזרת של F גדלה, ולכן גרף F קעור כלפי מעלה. אם f יורדת, אז הנגזרת של F קטנה, ולכן גרף F קעור כלפי מטה. כאשר ל־f יש נקודת קיצון מקומית והיא משנה כיוון עלייה או ירידה, גרף F עשוי לקבל נקודת פיתול, כלומר מעבר מקעירות אחת לאחרת.

חשוב להיזהר: נקודה שבה f מתאפסת אך אינה מחליפה סימן אינה בהכרח נקודת קיצון של F. למשל, אם גרף של f נוגע בציר וחוזר לאותו צד, ההצטברות רק משנה את קצב השינוי שלה באופן זמני. כמו כן, הערך של F בנקודה אינו נקרא ישירות מגובה הגרף של f, אלא מהשטח המסומן שנאסף עד אותה נקודה.

דוגמה איכותית: אם f חיובית וגדלה בקטע מסוים, אז F עולה וקעורה כלפי מעלה. אם בהמשך f נשארת חיובית אך קטנה, F ממשיכה לעלות אך קעורה כלפי מטה. לכן נקודת המקסימום של f אינה נקודת מקסימום של F, אלא נקודת פיתול בגרף ההצטברות, כל עוד f נשארת חיובית.

כדי לסרטט סקיצה של F מתוך גרף f, נוח לעבוד בסדר: מתחילים מהנקודה (a,0); מסמנים עלייה כאשר f חיובית וירידה כאשר f שלילית; בודקים נקודות שבהן f מתאפסת ומחפשים שינוי סימן; ולבסוף בודקים אם f עולה או יורדת כדי להחליט על הקעירות.

יישומי פונקציית הצטברות בחישוב שטחים

השימוש המרכזי בפונקציית הצטברות הוא מעבר מהגדרת השטח המסומן לחישוב מעשי. אם f אי־שלילית בקטע [a,b], השטח שבין הגרף לציר x הוא ∫_a^b f(x)dx. אם f שלילית בקטע, האינטגרל עצמו שלילי, ולכן השטח הגאומטרי הוא הערך המוחלט שלו, כלומר מינוס האינטגרל.

כאשר הגרף חותך את ציר x בתוך הקטע, יש לפצל את הקטע בנקודות החיתוך. בכל תת־קטע מחשבים בנפרד את האינטגרל, ואחר כך מחברים את הערכים המוחלטים אם רוצים שטח גאומטרי כולל. אין להסתפק בחישוב אינטגרל אחד על כל הקטע ולקחת את הערך המוחלט שלו, כאשר יש חצייה של הציר. אזורים חיוביים ושליליים עלולים לבטל זה את זה באינטגרל המסוים, ולכן את השטח הגאומטרי יש להרכיב מסכום של ערכים מוחלטים בכל תת־קטע.

דוגמה: נתונה f(x)=x-2 בקטע [0,4]. נקודת החיתוך עם הציר היא x=2. בתחום 0≤x≤2 הפונקציה שלילית, ובתחום 2≤x≤4 היא חיובית.

נחשב את האינטגרלים:

∫_0^2 (x-2)dx = [x^2/2-2x]_0^2 = (2-4)-0 = -2.

∫_2^4 (x-2)dx = [x^2/2-2x]_2^4 = (8-8)-(2-4)=2.

השטח הגאומטרי הכולל הוא |-2|+|2|=4.

בחישוב שטח בין שני גרפים משתמשים באותו עיקרון: בכל קטע שבו גרף אחד נמצא מעל השני, השטח הוא אינטגרל של ההפרש בין הפונקציה העליונה לפונקציה התחתונה. אם הפונקציה העליונה היא g והתחתונה היא f, השטח הוא ∫(g(x)-f(x))dx. אם הגרפים מחליפים ביניהם את הסדר, יש לפצל בנקודות החיתוך.

דוגמה: נחשב את השטח בין הגרפים של g(x)=x ושל f(x)=x^2 בקטע שבו הם נחתכים. נשווה: x=x^2, כלומר x(x-1)=0, ולכן נקודות החיתוך הן x=0 ו־x=1. בקטע [0,1] מתקיים x≥x^2, ולכן הגרף העליון הוא g. השטח הוא:

∫_0^1 (x-x^2)dx = [x^2/2-x^3/3]_0^1 = 1/2-1/3=1/6.

בבעיות שבהן הגרפים מחליפים סדר, יש למצוא תחילה את נקודות החיתוך, לבדוק איזו פונקציה עליונה בכל תת־קטע, ואז לחבר את האינטגרלים של ההפרשים.