מה צריך לדעת על «וקטורים גאומטריים וקומבינציה לינארית»?

וקטורים גאומטריים וקומבינציה לינארית

השיעור עוסק בתיאור גדלים בעלי כיוון באמצעות וקטורים, ובמעבר בין שרטוט גאומטרי לחישוב אלגברי. נלמד כיצד וקטורים מייצגים צלעות, אלכסונים וגבהים במישור ובמרחב, כיצד מבצעים בהם פעולות, וכיצד מציגים וקטור כקומבינציה לינארית של וקטורים אחרים. כמו כן נראה כיצד מוצאים נקודה המחלקת קטע ביחס נתון וכיצד משתמשים בכלים האלה בחישובים ובהוכחות.

מנסרה, פירמידה וזוויות במרחב

בבעיות בגאומטריה במרחב נפגשים שני גופים מרכזיים: מנסרה ופירמידה. מנסרה היא גוף שיש לו שני בסיסים מקבילים וחופפים, ופאות צדדיות שהן מקביליות. דוגמאות מוכרות הן קובייה ותיבה. פירמידה היא גוף שבסיסו מצולע, וכל קודקודי הבסיס מחוברים לקודקוד אחד שמחוץ למישור הבסיס, הנקרא קודקוד הראש. הפאות הצדדיות של פירמידה הן משולשים.

הגובה של פירמידה הוא הקטע המאונך היוצא מקודקוד הראש ומגיע אל מישור הבסיס. אורך הגובה משמש לחישוב שטחים, נפחים וזוויות. כאשר דנים בזוויות במרחב, נהגים להיעזר בהיטלים או בווקטורים: זווית בין שני ישרים נמדדת באמצעות וקטורי הכיוון שלהם, וזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר לבין ההיטל שלו על המישור. זווית בין שני מישורים נמדדת באמצעות ישרים המאונכים לישר החיתוך ונמצאים בכל אחד מהמישורים.

השימוש בווקטורים מאפשר לתאר צלעות, אלכסונים וגבהים כחיצים מכוונים. למשל, אם במנסרה מסומנים שלושה מקצועות היוצאים מאותו קודקוד, אפשר לסמן אותם כשלושה וקטורים, ואז אלכסון הגוף מתקבל כסכומם. באופן דומה, בפירמידה אפשר לסמן את המקצועות הצדדיים ואת הגובה כוקטורים, ולחשב בעזרתם מרחקים וזוויות.

וקטור כחץ במישור ובמרחב

וקטור הוא קטע מכוון: יש לו נקודת מוצא ונקודת סוף, והוא מתאר גם כיוון וגם אורך. נסמן וקטור מ־A ל־B על ידי $\overrightarrow{AB}$, או באות עם חץ, למשל $\vec{u}$. שני וקטורים שווים אם יש להם אותו אורך ואותו כיוון, גם אם נקודות המוצא שלהם שונות. לכן אפשר להזיז וקטור במקביל לעצמו בלי לשנות את משמעותו.

וקטור נגדי ל־$\vec{u}$ הוא וקטור בעל אותו אורך וכיוון הפוך, ומסומן $-\vec{u}$. וקטור האפס הוא וקטור שנקודת המוצא והסוף שלו מתלכדות; אורכו 0. במישור נהוג לייצג וקטור כזוג סדור $(x,y)$, ובמרחב כשלשה סדורה $(x,y,z)$. הרכיבים מתארים את ההעתקה בכיווני הצירים.

כדי לעבור מזוג נקודות לוקטור, מחסרים את שיעורי נקודת המוצא משיעורי נקודת הסוף. דוגמה: אם $A(1,2,0)$ ו־$B(4,6,0)$, אז $\overrightarrow{AB}=B-A=(3,4,0)$, ואורכו $\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5$.

חיבור, חיסור וכפל בסקלר

הפעולות בווקטורים מוגדרות רכיב־רכיב, ויש להן גם משמעות גאומטרית. בחיבור שני וקטורים מציבים את מוצא השני בסוף הראשון; הווקטור המתקבל הוא ממוצא הראשון לסוף השני. בייצוג אלגברי מחברים רכיבים מתאימים. בחיבור כמה וקטורים אפשר לסדר אותם זה אחרי זה בכל סדר נוח, משום שהחיבור קיבוצי וחילופי.

חיסור מוגדר כחיבור עם הווקטור הנגדי: $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$. כפל בסקלר $k$ מכפיל כל רכיב ב־$k$. אם $k>0$, הכיוון נשמר; אם $k<0$, הכיוון מתהפך; ואם $k=0$, מתקבל וקטור האפס. אורך הווקטור מוכפל בערך המוחלט של $k$.

תכונות הפעולות:

• חיבור וקטורים הוא חילופי וקיבוצי.
• כפל בסקלר מתפלג על פני חיבור וקטורים ועל פני חיבור סקלרים.
• קיים וקטור אפס שהוא איבר יחידה לחיבור.
• לכל וקטור $\vec{u}$ קיים וקטור נגדי $-\vec{u}$.

דוגמה: נתונים $\vec{a}=(1,2,3)$ ו־$\vec{b}=(4,-1,2)$. אז: $\vec{a}+\vec{b}=(5,1,5)$, $\vec{a}-\vec{b}=(-3,3,1)$, ו־$2\vec{a}=(2,4,6)$.

קומבינציה לינארית ותלות לינארית

קומבינציה לינארית של וקטורים $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n$ היא ביטוי מהצורה $c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots+c_n\vec{v}_n$, שבו המקדמים הם מספרים ממשיים. לדוגמה, במישור עם $\vec{e}_1=(1,0)$ ו־$\vec{e}_2=(0,1)$, הווקטור $\vec{w}=(5,3)$ מתקבל כ־$5\vec{e}_1+3\vec{e}_2$.

שני וקטורים שאינם וקטור האפס נקראים קולינאריים אם הם מונחים על ישרים מקבילים או על אותו ישר, כלומר אם אחד מהם הוא כפולה סקלרית של האחר. לדוגמה, $\vec{u}=(2,-1,3)$ ו־$\vec{v}=(-4,2,-6)$ קולינאריים, משום ש־$\vec{v}=-2\vec{u}$. אם שני וקטורים אינם קולינאריים, אי אפשר להציג אחד מהם ככפולה מספרית של האחר.

קבוצת וקטורים היא תלויה לינארית אם אפשר להציג אחד מהווקטורים בקבוצה כקומבינציה לינארית של האחרים. אם אי אפשר לעשות זאת, הווקטורים בלתי תלויים לינארית. במישור, שני וקטורים שאינם קולינאריים הם בלתי תלויים, וכל שלישיית וקטורים במישור היא תלויה. במרחב, שלושה וקטורים שאינם באותו מישור הם בלתי תלויים, וכל רביעיית וקטורים במרחב היא תלויה.

יחידות ההצגה במישור ובמרחב

יחידות ההצגה פירושה שאפשר להציג וקטור מסוים כקומבינציה לינארית של וקטורים נתונים בדיוק בדרך אחת. במישור, כל וקטור ניתן להצגה יחידה כקומבינציה לינארית של שני וקטורים שאינם קולינאריים. במרחב, כל וקטור ניתן להצגה יחידה כקומבינציה לינארית של שלושה וקטורים שאינם באותו מישור.

כאשר בוחרים שני וקטורים בלתי תלויים במישור או שלושה וקטורים בלתי תלויים במרחב, הם משמשים כמערכת כיוונים עצמאית שבעזרתה אפשר לתאר כל וקטור אחר. זו הסיבה שבבעיות רבות מסמנים תחילה שלושה וקטורים בלתי תלויים, ולאחר מכן מבטאים בעזרתם את שאר הקטעים במרחב.

אם הווקטורים תלויים, הייצוג אינו בהכרח יחיד. למשל, עבור $\vec{u}=(1,0)$, $\vec{v}=(2,0)$ ו־$\vec{w}=(3,0)$, אפשר לכתוב $\vec{w}=3\vec{u}+0\vec{v}$, וגם $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$. לכן אין כאן יחידות הצגה.

חלוקת קטע ביחס נתון

נקודה $P$ הנמצאת על הישר $AB$ עשויה לחלק את הקטע $AB$ לשני קטעים. אם $P$ בין $A$ ל־$B$, זו חלוקה פנימית; אם $P$ מחוץ לקטע אך על הישר, זו חלוקה חיצונית. אם מתקיים $AP:PB=m:n$, אומרים ש־$P$ מחלקת את הקטע ביחס $m:n$.

בחלוקה פנימית אפשר למצוא את שיעורי $P$ לפי הנוסחה $P=\frac{nA+mB}{m+n}$. כלומר, כל רכיב מחושב בנפרד: $x_P=\frac{n x_A+m x_B}{m+n}$, $y_P=\frac{n y_A+m y_B}{m+n}$, ובמרחב גם $z_P=\frac{n z_A+m z_B}{m+n}$. הנוסחה מתאימה גם לקטע שאינו מקביל לצירים.

דוגמה: $A(3,2)$, $B(15,2)$, ו־$P$ מחלקת את $AB$ ביחס $1:3$, כלומר $AP:PB=1:3$. כאן $m=1$, $n=3$, ולכן: $x_P=\frac{3\cdot3+1\cdot15}{4}=\frac{24}{4}=6$, $y_P=\frac{3\cdot2+1\cdot2}{4}=2$. לכן $P(6,2)$.

דרך וקטורית שקולה: $\overrightarrow{AP}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$. בדוגמה שלעיל, $\overrightarrow{AB}=(12,0)$, ולכן $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}(12,0)=(3,0)$. מוסיפים את הווקטור הזה לנקודה $A$ ומקבלים שוב $P(6,2)$.

אם הנקודה מחלקת את הקטע חלוקה חיצונית, אפשר עדיין לתאר אותה בעזרת פרמטר: $P=A+t(B-A)$. עבור חלוקה פנימית מתקיים $0<t<1$. עבור חלוקה חיצונית מתקיים $t<0$ או $t>1$. הערכים $t=0$ ו־$t=1$ נותנים את הקצוות $A$ ו־$B$, בהתאמה. למשל, אם $t=2$, הנקודה נמצאת מעבר ל־$B$, ומתקיים $AP=2AB$.

חישובים והוכחות בעזרת וקטורים

וקטורים מאפשרים להחליף טענות גאומטריות בחישובים אלגבריים. כמה כללים שימושיים:

• אמצע קטע $AB$ הוא $\frac{A+B}{2}$.
• נקודה $X$ נמצאת על הישר $AB$ אם קיים מספר $t$ כך ש־$X=A+t(B-A)$.
• שני ישרים מקבילים אם וקטורי הכיוון שלהם קולינאריים.
• כדי להוכיח שוויון או מקבילות, מבטאים את הווקטורים הרצויים כקומבינציה לינארית של וקטורים ידועים ומשווים.
• כאשר משווים קומבינציות לינאריות של וקטורים בלתי תלויים, מותר להשוות את המקדמים של כל וקטור.

דוגמה להוכחה: במשולש $ABC$, הנקודה $D$ היא אמצע $AB$ והנקודה $E$ היא אמצע $AC$. נוכיח ש־$DE$ מקביל ל־$BC$ ואורכו חצי מ־$BC$.

נחשב: $D=\frac{A+B}{2}$, $E=\frac{A+C}{2}$. לכן: $\overrightarrow{DE}=E-D=\frac{A+C}{2}-\frac{A+B}{2}=\frac{C-B}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. קיבלנו ש־$\overrightarrow{DE}$ הוא כפולה סקלרית חיובית של $\overrightarrow{BC}$, ולכן הקטעים מקבילים, ואורך $DE$ הוא מחצית אורך $BC$. הטיעון תקף הן במישור והן במרחב, משום שהחישוב אינו תלוי בבחירת צירים.