מה צריך לדעת על «ישרים ומישורים במרחב»?

ישרים ומישורים במרחב

השיעור עוסק בתיאור עצמים גאומטריים תלת־ממדיים באמצעות וקטורים ופרמטרים. הרעיון המרכזי הוא שנקודה אחת ווקטור כיוון מספיקים כדי לתאר קו, ונקודה ושני וקטורי כיוון לא קולינאריים מספיקים כדי לתאר משטח. מתוך ההצגות האלה אפשר לעבור למשוואות ולבדוק חיתוך, הכלה ומקבילות.

הצגה פרמטרית של ישר

ישר במרחב נקבע על ידי נקודה אחת שעליו ועל ידי כיוונו. בהצגה וקטורית בוחרים נקודה $A$ על הישר ומסמנים את וקטור ההעתקה $\vec{a}$, שמוצאו בראשית הצירים וסופו בנקודה $A$. כן בוחרים וקטור כיוון $\vec{u}$ המקביל לישר. כל נקודה $X$ על הישר מתקבלת על ידי הוספת כפולה של $\vec{u}$ לוקטור המיקום של $A$.

לכן ההצגה הפרמטרית של הישר היא:

$\vec{x}=\vec{a}+t\vec{u}, \quad t\in\mathbb{R}.$

כאן $\vec{x}$ הוא וקטור המיקום של נקודה כללית על הישר, ו-$t$ הוא פרמטר ממשי. אם $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ו-$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, אז בצורת שיעורים:

$(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3)+t(u_1,u_2,u_3).$

כלומר:

$x=a_1+tu_1,\quad y=a_2+tu_2,\quad z=a_3+tu_3.$

ההצגה אינה בהכרח יחידה. אפשר לבחור נקודה אחרת על הישר כ-$\vec{a}$, ואפשר לבחור כל וקטור כיוון שהוא כפולה של $\vec{u}$ ושונה מווקטור האפס. וקטור הכיוון אינו חייב להיות וקטור יחידה; האורך שלו אינו משנה את הישר, רק כיוונו קובע.

דוגמה: ישר העובר דרך הנקודה $A(1,2,0)$ וכיוונו $\vec{u}=(3,4,1)$. הצגה פרמטרית שלו היא:

$(x,y,z)=(1,2,0)+t(3,4,1).$

עבור $t=0$ מתקבלת הנקודה $A$. עבור $t=1$ מתקבלת הנקודה $(4,6,1)$, שהיא נקודה נוספת על הישר. אם נתונות שתי נקודות על הישר, אפשר לבחור אחת מהן כ-$\vec{a}$, ואת וקטור ההפרש בין הנקודות כ-$\vec{u}$.

כדי לבדוק אם נקודה נתונה נמצאת על הישר, מציבים את שיעוריה בהצגה ומחפשים ערך של $t$ שמקיים את שלושת השיעורים. לדוגמה, עבור הישר בדוגמה הקודמת, נבדוק את הנקודה $(7,10,2)$. מהשיעור הראשון:

$7=1+3t$

ולכן $t=2$. עבור $t=2$ מתקבל גם $y=2+4\cdot2=10$, וגם $z=0+1\cdot2=2$. לכן הנקודה נמצאת על הישר.

הצגה פרמטרית של מישור

מישור במרחב נקבע על ידי נקודה אחת ושני וקטורי כיוון שאינם קולינאריים. וקטורים קולינאריים הם וקטורים הנמצאים על אותו ישר או על ישרים מקבילים, כלומר אפשר להגיע מאחד לשני על ידי כפל במספר ממשי. אם שני וקטורי הכיוון קולינאריים, הם פורשים רק כיוון אחד ולכן אינם קובעים מישור.

בוחרים נקודה $A$ במישור, וקטור העתקה $\vec{a}$ מראשית הצירים אל $A$, ושני וקטורי כיוון $\vec{u}$, $\vec{v}$ הנמצאים במישור ואינם קולינאריים. כל נקודה במישור מתקבלת מצירוף של שני הכיוונים:

$\vec{x}=\vec{a}+t\vec{u}+s\vec{v}, \quad t,s\in\mathbb{R}.$

הפרמטרים $t$ ו-$s$ מאפשרים לנוע בשני כיוונים בלתי תלויים בתוך המישור. לכן יש במישור דרגת חופש אחת יותר מאשר בישר. גם כאן ההצגה אינה יחידה: אפשר לבחור נקודה אחרת במישור או וקטורי כיוון אחרים שנפרשים מאותו מישור.

דוגמה: מישור העובר דרך הנקודה $A(1,0,0)$, ויש בו שני וקטורי כיוון $\vec{u}=(2,1,0)$, $\vec{v}=(0,2,4)$. ההצגה הפרמטרית היא:

$(x,y,z)=(1,0,0)+t(2,1,0)+s(0,2,4).$

אם המישור נקבע על ידי שלוש נקודות $A,B,C$ שאינן על ישר אחד, אפשר לקחת את $\vec{a}$ לנקודה $A$, ואת וקטורי הכיוון כ-$\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AC}$.

כדי לבדוק אם נקודה נמצאת במישור, מחפשים ערכים של $t$ ו-$s$ המקיימים את שלושת השיעורים. למשל, עבור המישור בדוגמה, הנקודה $(3,3,4)$ מתקבלת עבור $t=1$ ו-$s=1$, שכן:

$x=1+2\cdot1=3$

$y=0+1+2\cdot1=3$

$z=0+4\cdot1=4$

ולכן הנקודה נמצאת במישור.

משוואת מישור

בנוסף להצגה הפרמטרית, אפשר לתאר מישור בעזרת משוואה אלגברית. משוואת מישור במרחב היא מהצורה:

$ax+by+cz=d,$

כאשר $a,b,c,d$ הם מספרים ממשיים, ולפחות אחד מהמספרים $a,b,c$ שונה מאפס. הווקטור $\vec{n}=(a,b,c)$ נקרא וקטור נורמל למישור, והוא מאונך למישור.

המשמעות של הנורמל היא שכל וקטור כיוון שנמצא במישור מאונך ל-$\vec{n}$. לכן אם $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$ הם וקטורי כיוון של המישור, אז:

$\vec{n}\cdot\vec{u}=0,\quad \vec{n}\cdot\vec{v}=0.$

כדי למצוא את $d$, מציבים נקודה ידועה $(x_0,y_0,z_0)$ שנמצאת במישור במשוואה:

$ax_0+by_0+cz_0=d.$

דוגמה: נמצא משוואת מישור העובר דרך הנקודה $(2,-1,3)$ ווקטור הנורמל שלו הוא $\vec{n}=(4,1,-2)$. נציב את הנקודה:

$4\cdot2+1\cdot(-1)+(-2)\cdot3=d.$

נקבל:

$8-1-6=1,$

ולכן משוואת המישור היא:

$4x+y-2z=1.$

אם רוצים צורה שבה כל האיברים באגף אחד, אפשר לכתוב $4x+y-2z-1=0$.

כפל המשוואה במספר שונה מאפס אינו משנה את המישור. למשל, המשוואה $8x+2y-4z=2$ מתארת את אותו מישור כמו $4x+y-2z=1$, והנורמל שלה הוא כפולה של הנורמל הקודם. אם אחד המקדמים $a,b,c$ הוא אפס, המשוואה אינה תלויה באחד המשתנים, ולכן המישור מקביל לכיוון הציר המתאים.

אם נתונה הצגה פרמטרית של מישור, אפשר לעבור למשוואת מישור על ידי מציאת וקטור $\vec{n}$ המאונך לשני וקטורי הכיוון. לדוגמה, עבור המישור

$(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,0,1)+s(0,1,1)$

נדרוש ש-$\vec{n}=(a,b,c)$ יקיים:

$a+c=0,\quad b+c=0.$

אם נבחר $c=-1$, נקבל $a=1$, $b=1$, ולכן $\vec{n}=(1,1,-1)$. מכיוון שהמישור עובר בראשית, $d=0$, ומשוואת המישור היא:

$x+y-z=0.$

מצבים הדדיים של ישרים

שני ישרים במרחב יכולים להימצא בארבעה מצבים עיקריים: מתלכדים, מקבילים, נחתכים ומצטלבים.

• ישרים מתלכדים: שני הישרים הם אותו ישר ממש, ולכן כל נקודה באחד מהם נמצאת גם בשני.
• ישרים מקבילים: לשני הישרים יש אותו כיוון, אך אין להם נקודות משותפות.
• ישרים נחתכים: לשני הישרים יש כיוונים שונים, והם נפגשים בנקודה אחת.
• ישרים מצטלבים: לשני הישרים יש כיוונים שונים, והם אינם נפגשים.

כדי לבדוק את המצב ההדדי, משווים תחילה את וקטורי הכיוון. אם וקטורי הכיוון קולינאריים, הישרים מקבילים או מתלכדים. במקרה זה בודקים אם נקודה מישר אחד נמצאת על הישר השני: אם כן, הישרים מתלכדים; אם לא, הם מקבילים.

אם וקטורי הכיוון אינם קולינאריים, הישרים עשויים להיחתך או להצטלב. כדי להכריע, משווים את ההצגות הפרמטריות ודורשים שיעורי $x,y,z$ שווים. אם מתקבל פתרון יחיד לפרמטרים, הישרים נחתכים בנקודה המתאימה. אם אין פתרון, הישרים מצטלבים.

כאשר משווים שני ישרים, חשוב להשתמש בפרמטרים שונים, למשל $t$ ו-$s$, כדי לא לדרוש בטעות את אותה נקודה באותו פרמטר. אם מתקבל ערך אחד לכל פרמטר והוא מקיים את שלושת השיעורים, זו נקודת חיתוך.

דוגמה קצרה: נתונים הישרים

$l_1:(x,y,z)=(1,2,0)+t(3,4,1)$

ו-

$l_2:(x,y,z)=(4,6,1)+s(3,4,1).$

וקטורי הכיוון שווים, ולכן הישרים מקבילים או מתלכדים. נבדוק אם הנקודה $(1,2,0)$ מישר $l_1$ נמצאת על $l_2$. נשווה:

$(1,2,0)=(4,6,1)+s(3,4,1).$

מהשיעור הראשון:

$1=4+3s$

ולכן $s=-1$. עבור $s=-1$ מתקבל בשיעור השני $6-4=2$, ובשיעור השלישי $1-1=0$. כלומר הנקודה נמצאת על $l_2$, ולכן הישרים מתלכדים.

מצבים הדדיים של ישר ומישור

ישר ומישור במרחב יכולים להימצא בשלושה מצבים עיקריים: הישר מוכל במישור, הישר חותך את המישור בנקודה אחת, או הישר מקביל למישור.

• הישר מוכל במישור: כל נקודות הישר נמצאות במישור.
• הישר חותך את המישור: לישר ולמישור יש נקודה משותפת אחת בלבד.
• הישר מקביל למישור: לישר ולמישור אין נקודות משותפות, וכיוון הישר מקביל למישור.

דרך בדיקה פשוטה היא להציב את ההצגה הפרמטרית של הישר במשוואת המישור. לאחר ההצבה מתקבלת משוואה בפרמטר $t$.

• אם מתקבל פתרון יחיד ל-$t$, הישר חותך את המישור בנקודה אחת.
• אם מתקבלת זהות, למשל $0=0$, הישר מוכל במישור.
• אם מתקבלת סתירה, למשל $0=5$, הישר מקביל למישור.

דרך נוספת משתמשת בנורמל $\vec{n}$ של המישור ובווקטור הכיוון $\vec{u}$ של הישר. אם $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$, הישר חותך את המישור. אם $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$, כיוון הישר מקביל למישור; אז בודקים נקודה אחת של הישר: אם היא במישור, הישר מוכל; אחרת הוא מקביל.

דוגמה: נתון המישור

$2x+y-z=3$

והישר

$(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,1,1).$

נציב את שיעורי הישר במישור: $x=t$, $y=t$, $z=t$. מתקבל:

$2t+t-t=3.$

כלומר:

$2t=3,$

ולכן $t=\frac{3}{2}$. יש פתרון יחיד, ולכן הישר חותך את המישור. כדי לקבל את נקודת החיתוך, מציבים את הערך שמצאנו עבור $t$ חזרה בהצגה הפרמטרית של הישר, ומקבלים את הנקודה $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$.

דוגמה נוספת: עבור הישר

$(x,y,z)=(1,0,-1)+t(1,-2,0)$

נבדוק את המכפלה הסקלרית של כיוון הישר עם נורמל המישור $\vec{n}=(2,1,-1)$:

$(1,-2,0)\cdot(2,1,-1)=2-2+0=0.$

לכן הישר מקביל למישור או מוכל בו. נציב את הנקודה $(1,0,-1)$ במישור:

$2\cdot1+0-(-1)=3.$

הנקודה מקיימת את המשוואה, ולכן הישר מוכל במישור.

מצבים הדדיים של שני מישורים

שני מישורים במרחב יכולים להיות מקבילים או להיחתך. אם הם נחתכים, קבוצת הנקודות המשותפת להם היא ישר, הנקרא ישר החיתוך. אם המישורים מתלכדים, כל נקודה משותפת להם, וזהו מקרה שבו שתי המשוואות מתארות את אותו מישור.

כדי לבדוק את המצב ההדדי, מסתכלים תחילה על וקטורי הנורמל. אם הנורמלים קולינאריים, המישורים מקבילים או מתלכדים. אם הנורמלים אינם קולינאריים, המישורים נחתכים בישר.

אם הנורמלים קולינאריים, אפשר גם לבדוק נקודה: אם נקודה ממישור אחד מקיימת את משוואת המישור השני, המישורים מתלכדים; אחרת הם מקבילים. דרך נוספת היא להשוות בין המשוואות ולבדוק אם הן פרופורציוניות לחלוטין, כולל האגף הימני.

דוגמה: נתונים המישורים

$x=2$

ו-

$y+z=3.$

הנורמל של המישור הראשון הוא $(1,0,0)$, והנורמל של השני הוא $(0,1,1)$. הם אינם קולינאריים, ולכן המישורים נחתכים בישר. כדי למצוא את ישר החיתוך, נסמן $z=t$. מהמשוואה השנייה נקבל $y=3-t$, ומהמשוואה הראשונה $x=2$. לכן ישר החיתוך הוא:

$(x,y,z)=(2,3,0)+t(0,-1,1).$

אם שני המישורים הם למשל $x+y+z=1$ ו-$2x+2y+2z=5$, הנורמלים $(1,1,1)$ ו-$(2,2,2)$ קולינאריים. נחלק את המשוואה השנייה ב-2 ונקבל $x+y+z=\frac{5}{2}$, וזו אינה אותה משוואה כמו $x+y+z=1$. לכן המישורים מקבילים ואינם מתלכדים.