מה צריך לדעת על «מכפלה סקלרית והצגה אלגברית של וקטורים»?

מכפלה סקלרית והצגה אלגברית של וקטורים

השיעור עוסק במעבר מתיאור גיאומטרי של וקטורים לטיפול אלגברי בעזרת רכיבים. הרעיון המרכזי הוא שוקטור ניתן לזיהוי מלא באמצעות מספרים, ולכן פעולות כמו חיבור, חיסור, מציאת אורך ובדיקת זווית נעשות בעזרת חישובים מדויקים. המכפלה הסקלרית היא הכלי שמקשר בין הרכיבים לבין הזווית שבין וקטורים.

וקטור והצגה אלגברית

וקטור הוא גודל שיש לו אורך וכיוון. בגיאומטריה נהוג לתאר אותו כחץ שיש לו נקודת מוצא ונקודת סוף. כאשר רוצים לעבוד באלגברה, נוח לתאר את הווקטור בעזרת רכיבים.

במישור, וקטור ייכתב בצורה (x, y). הרכיב הראשון מציין את השינוי בכיוון ציר x, והרכיב השני את השינוי בכיוון ציר y. במרחב תלת־ממדי נכתוב (x, y, z), והרכיב השלישי מציין את השינוי בכיוון ציר z.

כאשר נקודת המוצא של הווקטור היא ראשית הצירים, נקודת הסוף של הווקטור היא בדיוק (x, y) במישור או (x, y, z) במרחב. לכן נוח לזהות וקטור כזה עם שיעורי נקודת הסוף שלו, אך חשוב לזכור שהמשמעות היא של חץ בעל כיוון, ולא של נקודה בלבד.

נהוג לסמן וקטורים באותיות לטיניות קטנות, למשל u ו־v, או בעזרת חץ מעל האות. כאשר כותבים וקטור בין שתי נקודות, למשל AB, הכיוון חשוב: הווקטור מ־A ל־B הוא הווקטור הנגדי של הווקטור מ־B ל־A.

אם נתונות שתי נקודות, אפשר לעבור מהן לוקטור שמחבר ביניהן על ידי חיסור שיעורי נקודת המוצא משיעורי נקודת הסוף. למשל, אם A(2,1) ו־B(6,4), אז הווקטור מ־A ל־B הוא: AB = (6-2, 4-1) = (4,3).

דוגמה במרחב: אם A(1,2,0) ו־B(4,2,5), אז: AB = (4-1, 2-2, 5-0) = (3,0,5).

שני וקטורים שווים אם יש להם אותם רכיבים, גם אם הם מצוירים במקומות שונים במערכת הצירים. כאשר מתייחסים אל הווקטור ללא תלות במיקום החץ, הוא נקרא וקטור חופשי, ולכן שני חצים מקבילים בעלי אותם רכיבים מייצגים אותו וקטור.

פעולות אלגבריות בווקטורים

הכוח של ההצגה האלגברית הוא שפעולות על וקטורים נעשות רכיב־רכיב. כך אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל וקטורים בסקלר בלי להסתמך על שרטוט בלבד.

בחיבור וקטורים אפשר לחשוב על כלל ראש־זנב: מציבים את מוצא הווקטור השני בסוף הווקטור הראשון, והווקטור המתקבל מחבר את נקודת ההתחלה לנקודת הסוף. בהצגה האלגברית, המשמעות היא פשוט חיבור של רכיבים מתאימים.

חיבור וקטורים: אם u=(x1,y1) ו־v=(x2,y2), אז u+v=(x1+x2, y1+y2). במרחב מוסיפים גם את רכיבי z, כלומר u+v=(x1+x2, y1+y2, z1+z2).

אם AB=(2,5) ו־BC=(1,-3), אז הווקטור מ־A ל־C הוא סכום שני העברים: AC = AB + BC = (2+1, 5+(-3)) = (3,2).

חיסור וקטורים: מחסרים את הרכיבים המתאימים. כלומר, u-v=(x1-x2, y1-y2). אפשר גם לחשוב על חיסור כחיבור של וקטור נגדי: -v הוא הווקטור שרכיביו הם הרכיבים של v בסימן הפוך, ולכן u-v=u+(-v).

כפל וקטור בסקלר: סקלר הוא מספר רגיל. כאשר מכפילים וקטור בסקלר k, מכפילים כל רכיב ב־k. אם u=(x,y), אז ku=(kx, ky). אורך הווקטור מוכפל ב־|k|: אם |k|>1 הווקטור מתארך, ואם 0<|k|<1 הוא מתקצר. כאשר k<0 כיוון הווקטור גם מתהפך (עבור k=-1 האורך נשמר והכיוון מתהפך). כפל ב־0 נותן את וקטור האפס, וכפל ב־1 אינו משנה את הווקטור.

דוגמה: נתונים u=(2,-1,3) ו־v=(4,0,-2).

• u+v=(2+4, -1+0, 3+(-2))=(6,-1,1)
• u-v=(2-4, -1-0, 3-(-2))=(-2,-1,5)
• 3u=(6,-3,9)
• -v=(-4,0,2)

וקטור האפס הוא וקטור שכל רכיביו אפס, למשל (0,0) במישור או (0,0,0) במרחב. אורכו 0, ואין לו כיוון מוגדר.

אורך וקטור

האורך של וקטור הוא גודל חיובי או אפס, והוא מסומן בקווים אנכיים: |u|. במישור, אם u=(x,y), אז: |u| = √(x² + y²).

במרחב, אם u=(x,y,z), אז: |u| = √(x² + y² + z²).

הנוסחה נובעת ממשפט פיתגורס: הרכיבים הם הניצבים, והווקטור עצמו הוא היתר. לכן האורך תמיד מתקבל כשורש של סכום ריבועים. האורך אינו תלוי במיקום הווקטור: הזזה של החץ במערכת הצירים אינה משנה את אורכו.

דוגמה במישור: עבור u=(4,3): |u| = √(4²+3²) = √(16+9) = √25 = 5.

דוגמה במרחב: עבור v=(2,3,6): |v| = √(2²+3²+6²) = √(4+9+36) = √49 = 7.

אם הווקטור נתון בין שתי נקודות, תחילה מוצאים את רכיביו ורק אז מחשבים את אורכו. למשל, עבור A(1,2) ו־B(4,6): AB=(4-1,6-2)=(3,4) ולכן: |AB|=√(3²+4²)=√(9+16)=5.

השורש בנוסחת האורך נלקח תמיד לערך החיובי, משום שאורך אינו יכול להיות שלילי. חשוב להבחין בין וקטור לבין אורכו: הווקטור הוא עצמו בעל רכיבים וכיוון, ואילו האורך הוא מספר בלבד. לכן u ו־|u| אינם אותו דבר.

מכפלה סקלרית

מכפלה סקלרית היא פעולה בין שני וקטורים שהתוצאה שלה היא סקלר, כלומר מספר, ולא וקטור חדש. היא מסומנת בנקודה: u·v.

יש שתי דרכים שקולות להגדיר אותה. הדרך הגיאומטרית היא: u·v = |u| |v| cos α כאשר α היא הזווית בין הווקטורים, כלומר הזווית שמתקבלת כאשר מציבים את שני הווקטורים מאותה נקודת מוצא. הזווית נמדדת בדרך כלל בין 0° ל־180°.

הקוסינוס של הזווית, cos α, הוא ערך טריגונומטרי התלוי בזווית. למשל: cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = -1.

הדרך האלגברית היא חישוב לפי רכיבים. במישור, אם u=(x1,y1) ו־v=(x2,y2), אז: u·v = x1x2 + y1y2.

במרחב, אם u=(x1,y1,z1) ו־v=(x2,y2,z2), אז: u·v = x1x2 + y1y2 + z1z2.

דוגמה במישור: נתונים u=(2,3) ו־v=(4,-1). u·v = 2·4 + 3·(-1) = 8 - 3 = 5.

דוגמה במרחב: נתונים u=(1,2,2) ו־v=(0,3,-1). u·v = 1·0 + 2·3 + 2·(-1) = 0 + 6 - 2 = 4.

התוצאה יכולה להיות חיובית, שלילית או אפס. הסימן שלה קשור לזווית בין הווקטורים, כפי שנבין בהמשך דרך הקשר לקוסינוס. המכפלה אינה תלויה בסדר הווקטורים, ולכן אפשר לבחור את הסדר הנוח לחישוב.

אם אחד הווקטורים הוא וקטור אפס, המכפלה הסקלרית היא 0, אך לא ניתן להסיק ממנה על זווית, משום שעם וקטור אפס לא מגדירים זווית.

תכונות המכפלה הסקלרית

למכפלה הסקלרית יש תכונות שמאפשרות לפשט חישובים ולעבור בין אלגברה לגיאומטריה. התכונות נכונות גם במישור וגם במרחב, שכן החישוב לפי רכיבים מתבצע באותו אופן.

• חילופיות: u·v = v·u. סדר הווקטורים אינו משנה.
• פילוג: u·(v+w) = u·v + u·w. אפשר לפתוח סוגריים כמו בביטויים אלגבריים רגילים.
• כפל בסקלר: (ku)·v = k(u·v) = u·(kv). אפשר להוציא סקלר מחוץ למכפלה.
• מכפלה עצמית: u·u = |u|². כלומר, מכפלת וקטור בעצמו שווה לריבוע אורכו.

דוגמה לתכונת המכפלה העצמית: עבור u=(3,4): u·u = 3·3 + 4·4 = 9+16 = 25 וגם |u|² = 5² = 25.

בעזרת פילוג וחילופיות אפשר לפשט ביטויים שכוללים מכפלות של סכומים והפרשים. למשל: (u+v)·(u-v) = u·u - u·v + v·u - v·v = |u|² - |v|² משום ש־u·v = v·u, ושני האיברים האמצעיים מבטלים זה את זה.

תכונה חשובה נוספת קשורה לניצבות. אם שני וקטורים אינם וקטורי אפס והמכפלה הסקלרית שלהם היא 0, אז הם ניצבים זה לזה. הסיבה היא שבזווית של 90° מתקבל cos 90° = 0, ולכן המכפלה הגיאומטרית מתאפסת.

דוגמה: a=(2,3) ו־b=(3,-2). a·b = 2·3 + 3·(-2) = 6 - 6 = 0 ולכן הווקטורים ניצבים.

חישוב זווית בין וקטורים

אפשר להשתמש במכפלה הסקלרית כדי למצוא את הזווית בין שני וקטורים. מתוך הנוסחה הגיאומטרית מתקבל: cos α = (u·v) / (|u| |v|).

כדי לחשב את הזווית, עובדים בשלושה שלבים:

1. מחשבים את המכפלה הסקלרית u·v לפי רכיבים.
2. מחשבים את האורכים |u| ו־|v|.
3. מציבים את התוצאות בנוסחה ומקבלים את cos α.

דוגמה: נתונים u=(3,0) ו־v=(3,3). נחשב את המכפלה: u·v = 3·3 + 0·3 = 9. נחשב את האורכים: |u| = √(3²+0²) = 3 |v| = √(3²+3²) = √18 = 3√2. לכן: cos α = 9 / (3·3√2) = 9 / (9√2) = 1/√2. מכאן שהזווית היא α = 45°.

דוגמה לזווית ישרה: נתונים u=(1,2) ו־v=(-4,2). u·v = 1·(-4) + 2·2 = -4 + 4 = 0. מכיוון שהמכפלה היא 0 ושני הווקטורים אינם וקטורי אפס, הזווית ביניהם היא 90°.

אם מתקבל cos α = 1, הזווית היא 0° והווקטורים באותו כיוון. אם מתקבל cos α = -1, הזווית היא 180° והווקטורים בכיוונים מנוגדים. אם מתקבל cos α = 0, הזווית היא 90°.

כאשר אחד הווקטורים הוא וקטור האפס, לא מגדירים זווית בינו לבין וקטור אחר, ולכן יש לוודא ששני הווקטורים אינם וקטורי אפס לפני שמחשבים זווית. כמו כן, אם הערך שמתקבל מחוץ לתחום שבין מינוס 1 ל־1, אירעה טעות בחישוב, מפני שקוסינוס של זווית חייב להיות בתחום זה.

סימן המכפלה ומשמעות הזווית

לפעמים אין צורך לחשב את הזווית עצמה, ודי לבדוק את סימן המכפלה הסקלרית. מכיוון שהאורכים |u| ו־|v| חיוביים כאשר הווקטורים אינם וקטורי אפס, סימן המכפלה נקבע לפי סימן הקוסינוס.

• אם u·v > 0, הזווית חדה, כלומר קטנה מ־90°.
• אם u·v = 0, הזווית ישרה, כלומר 90°.
• אם u·v < 0, הזווית קהה, כלומר גדולה מ־90° וקטנה מ־180°.

בדיקה מהירה של סימן המכפלה יכולה לחסוך חישוב מלא של הזווית, במיוחד כשנדרש רק לסווג את הזווית כחדה, ישרה או קהה. כאשר הווקטורים באותו כיוון, המכפלה חיובית; כאשר הם בכיוונים מנוגדים, המכפלה שלילית.

דוגמה לזווית חדה: u=(1,2) ו־v=(2,1). u·v = 1·2 + 2·1 = 4, ולכן הזווית חדה.

דוגמה לזווית קהה: u=(1,2) ו־v=(-3,1). u·v = 1·(-3) + 2·1 = -3 + 2 = -1, ולכן הזווית קהה.

דוגמה לזווית ישרה: a=(2,3) ו־b=(3,-2) נותנים מכפלה 0, ולכן הזווית ביניהם היא 90°.